Berechnen Sie für den Fall, dass der Kauf von einer Person getätigt wurde, die jünger als 60 Jahre ist, die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Kauf im Verkaufsbüro getätigt wurde.
(3 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 2c
Gesucht ist die bedingte Wahrscheinlichkeit \(P_J(V)\).
Aus Teilaufgabe 2b ist bekannt:
\[p = P(\overline{V}) = 0{,}2\]
\[P(\overline{J}) = 0{,}54\]
\[P_V(J) = 0{,}35\]
Bei der Betrachtung eines zweistufigen Zufallsexperiments mit den Ereignissen \(A\) und \(B\) müssen zwei Fälle sorgfältig unterschieden werden.
1. Die Ereignisse \(A\) und \(B\) treten zugleich ein (\(A \cap B\)).
2. Das Ereignis \(B\) tritt unter der Bedingung ein, dass das Ereignis \(A\) bereits eingetreten ist.
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses \(B\) unter der Bedingung, dass das Ereignis \(A\) bereits eingetreten ist, heißt bedingte Wahrscheinlichkeit von \(\boldsymbol{B}\) unter der Bedingung \(\boldsymbol{A}\) und wird durch die Schreibweise \(P_A(B)\) gekennzeichnet.
Es gilt: \(P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} \enspace (P(A) \neq 0)\)
Die bedingten Wahrscheinlichkeiten werden bei einem Baumdiagramm an den Pfaden der zweiten Stufe (und ggf. höher) angetragen.
An den Enden der Pfade stehen die Wahrscheinlichkeiten für das gleichzeitige Eintreten der Ereignisse.
Nach der 1. Pfadregel (Multiplikationsregel) gilt beispielsweise:
\[\begin{align*}\textcolor{#e9b509}{P(A)} \cdot \textcolor{#0087c1}{P_A(B)} &= \textcolor{#cc071e}{P(A \cap B)} \\[0.8em] \Leftrightarrow \textcolor{#0087c1}{P_A(B)} &= \dfrac{\textcolor{#cc071e}{P(A \cap B)}}{\textcolor{#e9b509}{P(A)}}\end{align*}\]
Analog gilt für ein Baumdiagramm, das mit den Ereignissen \(B\) und \(\overline{B}\) beginnt, mithilfe der 1. und 2. Pfadregel:
\[\begin{align*}\textcolor{#e9b509}{P(B)} \cdot \textcolor{#0087c1}{P_B(A)} &= \textcolor{#cc071e}{P(A \cap B)} \\ \Leftrightarrow \textcolor{#0087c1}{P_B(A)} &= \frac{\textcolor{#cc071e}{P(A \cap B)}}{\textcolor{#e9b509}{P(B)}} \\\textcolor{#0087c1}{P_B(A)} &= \frac{\textcolor{#cc071e}{P(A \cap B)}}{\textcolor{#cc071e}{P(A \cap B)}+ \textcolor{#89ba17}{P(\overline{A} \cap B)}}\end{align*}\]
| \(B\) | \(\overline{B}\) | ||
| \(A\) | \(\textcolor{#cc071e}{P(A \cap B)}\) | \(P(A \cap \overline{B})\) | \(\textcolor{#e9b509}{P(A)}\) |
| \(\overline{A}\) | \(P(\overline{A} \cap B)\) | \(P(\overline{A} \cap \overline{B})\) | \(P(\overline{A})\) |
| \(\textcolor{#e9b509}{P(B)}\) | \(P(\overline{B})\) | \(1\) |
\[\textcolor{#0087c1}{P_A(B)} = \frac{\textcolor{#cc071e}{P(A \cap B)}}{\textcolor{#e9b509}{P(A)}} \qquad \textcolor{#0087c1}{P_B(A)} = \frac{\textcolor{#cc071e}{P(A \cap B)}}{\textcolor{#e9b509}{P(B)}}\]
Die bedingten Wahrscheinlichkeiten ergeben sich bei einer Vierfeldertafel als Quotient aus dem Eintrag einer inneren Zelle und dem Eintrag einer Randzelle.
\[\begin{align*}P_J(V) &= \frac{P(J \cap V)}{P(J)} = \frac{P(V) \cdot P_V(J)}{P(J)} \\[0.8em] &= \frac{(1-P(\overline{V})) \cdot P_V(J)}{1 - P(\overline{J})} = \frac{(1 - 0{,}2) \cdot 0{,}35}{1 - 0{,}54} \\[0.8em] &= \frac{14}{23} \approx 0{,}609 = 60{,}9\;\%\end{align*}\]
