Geben Sie das Monotonieverhalten von \(G_f\) und die Wertemenge von \(f\) an.
(2 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1c
Monotonieverhalten von \(G_f\)
Anwendung der Differetialrechnung:
Monotoniekriterium
\(\textcolor{#cc071e}{f'(x) < 0}\) im Intervall \( I \; \Rightarrow \; G_{f}\) fällt streng monoton in \(I\)
\(\textcolor{#0087c1}{f'(x) > 0}\) im Intervall \( I \; \Rightarrow \; G_{f}\) steigt streng monoton in \(I\)
(vgl. Merkhilfe)
\(\displaystyle f'(x) = \frac{1}{\underbrace{\sqrt{12 - 2x}}_{> \, 0}} \enspace\) (siehe Teilaufgabe 1b)
\(\Longrightarrow \quad f'(x) > 0\) für alle \(x \in D_{f}\)
\(\Longrightarrow \quad\) \(G_f\) ist für alle \(x \in D_{f}\) streng monoton steigend.
Wertemenge von \(f\)
Aus Teilaufgabe 1a ist bekannt:
\(D_{f} = \; ]-\infty;6]\,; \enspace\) \(\lim \limits_{x \,\to\, -\infty} f(x) = -\infty\,;\enspace\) \(f(6) = 2\)
Da \(G_{f}\) außerdem für alle \(x \in D_{f}\) streng monoton steigend ist, folgt:
\[W_f = \; ]-\infty;2]\]