Auf der Gerade durch \(P\) und \(Q\) liegen die Punkte \(R\) und \(S\) symmetrisch bezüglich \(E\); dabei liegt \(R\) bezüglich \(E\) auf der Seite wie \(P\). Der Abstand von \(R\) und \(S\) ist doppelt so groß wie der Abstand von \(P\) und \(Q\).
Bestimmen Sie die Koordinaten von \(R\).
(2 BE)
Lösung zu Teilaufgabe b
Die Koordinaten von \(R\) lassen sich durch Vektoraddition bestimmen. Beispielsweise wie folgt:
Planskizze optional
\(P(1|2|3)\), \(\textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{PQ} = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix}}\) (vgl. Teilaufgabe a)
\[\overrightarrow{R} = \overrightarrow{P} + \left( \textcolor{#0087c1}{-\frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{PQ}}\right) = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \textcolor{#0087c1}{-} \textcolor{#0087c1}{\frac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix}} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\]
oder
Planskizze optional
\(\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{M} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 7 \end{pmatrix}}\), \(\textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{PQ} = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix}}\) (vgl. Teilaufgabe a)
\[\overrightarrow{R} = \textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{M}} + \left( \textcolor{#0087c1}{-\overrightarrow{PQ}} \right) = \textcolor{#cc071e}{\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 7 \end{pmatrix}} \textcolor{#0087c1}{-} \textcolor{#0087c1}{\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix}} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\]
oder
Planskizze optional
\(Q(7|2|11)\), \(\textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{PQ} = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix}}\) (vgl. Teilaufgabe a)
\[\begin{align*}\overrightarrow{R} &= \overrightarrow{Q} + \left( \textcolor{#0087c1}{-\frac{3}{2} \cdot \overrightarrow{PQ}}\right) = \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 11 \end{pmatrix} \textcolor{#0087c1}{-} \textcolor{#0087c1}{\frac{3}{2} \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix}} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 11 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 9 \\ 0 \\ 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\end{align*}\]