Es gibt einen Punkt \(P(0|0|p)\), der im Inneren der Pyramide liegt und von allen vier Seitenflächen sowie der Grundfläche der Pyramide den gleichen Abstand hat. Mithilfe des folgenden Gleichungssystems lässt sich der Wert von \(p\) bestimmen:
\[\textsf{I} \quad \overrightarrow{Q} = \begin{pmatrix} 0\\0\\p \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} 0\\4\\3 \end{pmatrix}\]
\[\textsf{II} \quad 4 \cdot 4t + 3 \cdot (p+3t) -12 = 0 \vphantom{\begin{pmatrix} 0\\0\\p \end{pmatrix}}\]
\[\textsf{III} \quad \vert \overrightarrow{PQ} \vert = p \vphantom{\begin{pmatrix} 0\\0\\p \end{pmatrix}}\]
Erläutern Sie die Überlegungen im geometrischen Zusammenhang, die diesem Vorgang zur Bestimmung des Werts von \(p\) zugrunde liegen.
(5 BE)
Lösung zu Teilaufgabe d
Beispielsweise:
Gleichung \(\textsf{I}\): \(Q\) ist ein Punkt der Lotgerade durch Punkt \(P\) zur Ebene \(E\).
Gleichung \(\textsf{II}\): \(Q\) ist der Schnittpunkt der Lotgerade mit der Ebene \(E\), also der Lotfußpunkt des Lotes von \(P\) auf \(E\).
Gleichung \(\textsf{III}\): Der Abstand des Punktes \(P\) von der Seitenfläche \(CDS\) (Ebene \(E\)) ist gleich dem Abstand von der Grundfläche.
Ausführliche Erklärung (nicht verlangt)
\[\textsf{I} \quad \textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{Q}} = \begin{pmatrix} 0\\0\\p \end{pmatrix}+ t \cdot \textcolor{#0087c1}{\begin{pmatrix} 0\\4\\3 \end{pmatrix}}\]
Gleichung \(\textsf{I}\) formuliert eine Geradegleichung in Parameterform und verwendet dafür Punkt \(P(0|0|p)\) als Aufpunkt sowie den Normalenvektor \(\textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix} 0\\4\\3 \end{pmatrix}}\) der Ebene \(E\) als Richtungsvektor (vgl. Teilaufgabe c). Es handelt sich somit um die Lotgerade zur Ebene \(E\) (Seitenfläche \(CDS\)) durch Punkt \(P\). Der Punkt \(\textcolor{#cc071e}{Q}\) liegt auf dieser Lotgerade.
\[\textsf{II} \quad 4 \cdot \textcolor{#cc071e}{4t} + 3 \cdot (\textcolor{#cc071e}{p+3t}) -12 = 0\]
Gleichung \(\textsf{II}\) beschreibt den Ansatz für die Bestimmung des Schnittpunktes der Lotgerade und der Ebene \(E\), indem die Koordinaten der Lotgerade bzw. des Ortsvektors \(\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{Q} = \begin{pmatrix} 0\\4t\\p+3t \end{pmatrix}}\) in die Ebenengleichung \(E \colon 4x_2+3x_3-12 = 0\) eingesetzt werden. \(\textcolor{#cc071e}{Q}\) ist somit der Lotfußpunkt des Lotes von \(P\) auf die Ebene \(E\).
\[\textsf{III} \quad \vert \overrightarrow{PQ} \vert = p\]
\(\vert \overrightarrow{PQ} \vert = d(P;E)\) ist der Abstand des Punktes \(P\) von der Seitenfläche \(CDS\), die in der Ebene \(E\) liegt. Da der Punkt \(P(0|0|p)\) auf der \(x_3\)-Achse liegt und die Grundfläche \(ABCD\) in der \(x_1x_2\)-Ebene, gibt die \(x_3\)-Koordinate \(p\) den Abstand des Punktes \(P\) von der Grundfläche an.
Gleichung \(\textsf{III}\) formuliert also die Bedingung, dass der Punkt \(P\) von der Seitenfläche \(CDS\) und der Grundfläche \(ABCD\) den gleichen Abstand hat.
