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        • Geometrie 2
          • Teilaufgabe a
          • Teilaufgabe b
          • Teilaufgabe c
          • Teilaufgabe d
          • Teilaufgabe e
          • Teilaufgabe f
    • Mathematik Beispiel-Abitur Bayern 2014
      • Prüfungsteil A
        • Prüfungsangabe
        • Analysis 1
          • Teilaufgabe 1
          • Teilaufgabe 2
          • Teilaufgabe 3
          • Teilaufgabe 4
          • Teilaufgabe 5
        • Analysis 2
          • Teilaufgabe 1
          • Teilaufgabe 2
          • Teilaufgabe 3a
          • Teilaufgabe 3b
          • Teilaufgabe 4
        • Stochastik 1
          • Teilaufgabe 1
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
          • Teilaufgabe 3
        • Stochastik 2
          • Teilaufgabe a
          • Teilaufgabe b
          • Teilaufgabe c
          • Teilaufgabe d
        • Geometrie 1
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2
        • Geometrie 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2
      • Prüfungsteil B
        • Prüfungsangabe
        • Analysis 1
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 1c
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
          • Teilaufgabe 2c
          • Teilaufgabe 2d
          • Teilaufgabe 2e
          • Teilaufgabe 2f
          • Teilaufgabe 2g
        • Analysis 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 1c
          • Teilaufgabe 1d
          • Teilaufgabe 1e
          • Teilaufgabe 1f
          • Teilaufgabe 1g
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
          • Teilaufgabe 2c
          • Teilaufgabe 2d
          • Teilaufgabe 2e
        • Stochastik 1
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 1c
          • Teilaufgabe 2
          • Teilaufgabe 3a
          • Teilaufgabe 3b
        • Stochastik 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 1c
          • Teilaufgabe 1d
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
        • Geometrie 1
          • Teilaufgabe a
          • Teilaufgabe b
          • Teilaufgabe c
          • Teilaufgabe d
          • Teilaufgabe e
        • Geometrie 2
          • Teilaufgabe a
          • Teilaufgabe b
          • Teilaufgabe c
          • Teilaufgabe d
          • Teilaufgabe e
    • Mathematik Abitur Bayern 2013
      • Prüfungsangabe
      • Analysis I
        • Teil 1
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
          • Teilaufgabe 3
          • Teilaufgabe 4
        • Teil 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 1c
          • Teilaufgabe 1d
          • Teilaufgabe 1e
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
          • Teilaufgabe 2c
          • Teilaufgabe 3a
          • Teilaufgabe 3b
          • Teilaufgabe 3c
      • Analysis II
        • Teil 1
          • Teilaufgabe 1
          • Teilaufgabe 2
          • Teilaufgabe 3a
          • Teilaufgabe 3b
          • Teilaufgabe 4a
          • Teilaufgabe 4b
        • Teil 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
          • Teilaufgabe 3a
          • Teilaufgabe 3b
          • Teilaufgabe 3c
      • Stochastik I
        • Teilaufgabe 1a
        • Teilaufgabe 1b
        • Teilaufgabe 1c
        • Teilaufgabe 2a
        • Teilaufgabe 2b
        • Teilaufgabe 2c
        • Teilaufgabe 3a
        • Teilaufgabe 3b
      • Stochastik II
        • Teilaufgabe 1a
        • Teilaufgabe 1b
        • Teilaufgabe 1c
        • Teilaufgabe 2a
        • Teilaufgabe 2b
        • Teilaufgabe 3a
        • Teilaufgabe 3b
        • Teilaufgabe 3c
      • Geometrie I
        • Teilaufgabe a
        • Teilaufgabe b
        • Teilaufgabe c
        • Teilaufgabe d
        • Teilaufgabe e
        • Teilaufgabe f
        • Teilaufgabe g
        • Teilaufgabe h
      • Geometrie II
        • Teilaufgabe 1a
        • Teilaufgabe 1b
        • Teilaufgabe 1c
        • Teilaufgabe 1d
        • Teilaufgabe 1e
        • Teilaufgabe 2a
        • Teilaufgabe 2b
        • Teilaufgabe 2c
    • Mathematik Abitur Bayern 2012
      • Prüfungsangabe
      • Analysis I
        • Teil 1
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
          • Teilaufgabe 3a
          • Teilaufgabe 3b
          • Teilaufgabe 4
        • Teil 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 1c
          • Teilaufgabe 1d
          • Teilaufgabe 1e
          • Teilaufgabe 1f
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
          • Teilaufgabe 2c
          • Teilaufgabe 2d
          • Teilaufgabe 2e
          • Teilaufgabe 2f
      • Analysis II
        • Teil 1
          • Teilaufgabe 1
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
          • Teilaufgabe 3a
          • Teilaufgabe 3b
          • Teilaufgabe 4a
          • Teilaufgabe 4b
        • Teil 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 1c
          • Teilaufgabe 1d
          • Teilaufgabe 1e
          • Teilaufgabe 1f
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
          • Teilaufgabe 2c
      • Stochastik I
        • Teilaufgabe 1
        • Teilaufgabe 2a
        • Teilaufgabe 2b
        • Teilaufgabe 3a
        • Teilaufgabe 3b
        • Teilaufgabe 3c
        • Teilaufgabe 3d
        • Teilaufgabe 3e
        • Teilaufgabe 3f
      • Stochastik II
        • Teilaufgabe 1a
        • Teilaufgabe 1b
        • Teilaufgabe 2
        • Teilaufgabe 3
        • Teilaufgabe 4a
        • Teilaufgabe 4b
        • Teilaufgabe 4c
      • Geometrie I
        • Teilaufgabe a
        • Teilaufgabe b
        • Teilaufgabe c
        • Teilaufgabe d
        • Teilaufgabe e
        • Teilaufgabe f
        • Teilaufgabe g
      • Geometrie II
        • Teilaufgabe a
        • Teilaufgabe b
        • Teilaufgabe c
        • Teilaufgabe d
        • Teilaufgabe e
        • Teilaufgabe f
        • Teilaufgabe g
    • Mathematik Abitur Bayern 2011 G8
      • Prüfungsangabe
      • Analysis I
        • Teil 1
          • Teilaufgabe 1
          • Teilaufgabe 2
          • Teilaufgabe 3
          • Teilaufgabe 4a
          • Teilaufgabe 4b
        • Teil 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 1c
          • Teilaufgabe 1d
          • Teilaufgabe 1e
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
          • Teilaufgabe 2c
      • Analysis II
        • Teil 1
          • Teilaufgabe 1
          • Teilaufgabe 2
          • Teilaufgabe 3a
          • Teilaufgabe 3b
          • Teilaufgabe 3c
          • Teilaufgabe 4
        • Teil 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 1c
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
          • Teilaufgabe 2c
          • Teilaufgabe 3a
          • Teilaufgabe 3b
      • Stochastik I
        • Teilaufgabe 1a
        • Teilaufgabe 1b
        • Teilaufgabe 1c
        • Teilaufgabe 2a
        • Teilaufgabe 2b
        • Teilaufgabe 3
        • Teilaufgabe 4
      • Stochastik II
        • Teilaufgabe 1a
        • Teilaufgabe 1b
        • Teilaufgabe 1c
        • Teilaufgabe 2a
        • Teilaufgabe 2b
        • Teilaufgabe 3a
        • Teilaufgabe 3b
        • Teilaufgabe 3c
      • Geometrie I
        • Teilaufgabe a
        • Teilaufgabe b
        • Teilaufgabe c
        • Teilaufgabe d
        • Teilaufgabe e
        • Teilaufgabe f
      • Geometrie II
        • Teilaufgabe a
        • Teilaufgabe b
        • Teilaufgabe c
        • Teilaufgabe d
        • Teilaufgabe e
        • Teilaufgabe f
  • Abiturskript
    • 1 Analysis
      • 1.1 Elementare Funktionen und Ihre Eigenschaften
        • 1.1.1 Lineare Funktion
        • 1.1.2 Quadratische Funktion
        • 1.1.3 Ganzrationale Funktion
        • 1.1.4 Wurzelfunktion
        • 1.1.5 Betragsfunktion
        • 1.1.6 Trigonometrische Funktionen
        • 1.1.7 Entwicklung von Funktionen
        • 1.1.8 Schnittstellen mit den Koordinatenachsen
        • 1.1.9 Symmetrieverhalten (bzgl. des Koordinatensystems)
      • 1.2 Gebrochenrationale Funktion
        • 1.2.1 Nullstellen und Polstellen
        • 1.2.2 Grenzwerte und Asymptoten
      • 1.3 Natürliche Exponential- und Logarithmusfunktion
        • 1.3.1 Eigenschaften und Rechenregeln
        • 1.3.2 Exponentielles Wachstum und exponentielles Abklingen
        • 1.3.3 Exponential- und Logarithmusgleichungen
      • 1.4 Grenzwerte
      • 1.5 Differentialrechnung
        • 1.5.1 Die Ableitung
        • 1.5.2 Ableitungsregeln
        • 1.5.3 Monotonieverhalten, Extrem- und Terrassenpunkte
        • 1.5.4 Krümmungsverhalten und Wendepunkte
        • 1.5.5 Newton-Verfahren
        • 1.5.6 Umkehrfunktion
        • 1.5.7 Extremwertaufgaben
        • 1.5.8 Funktionsbestimmungen
        • 1.5.9 Tangenten zweier Funktionsgraphen
      • 1.6 Integralrechnung
        • 1.6.1 Stammfunktion
        • 1.6.2 Unbestimmtes Integral
        • 1.6.3 Bestimmtes Integral
        • 1.6.4 Flächenberechnung
        • 1.6.5 Uneigentliches Integral
        • 1.6.6 Integralfunktion
      • 1.7 Funktionenscharen
        • 1.7.1 Funktionenscharen - Einführende Beispiele
        • 1.7.2 Nullstellen einer Funktionenschar
        • 1.7.3 Graph einer Scharfunktion durch einen Punkt
        • 1.7.4 Graph einer Scharfunktion mit vorgegebener Steigung
        • 1.7.5 Extrem- / Wendepunkte einer Kurvenschar
        • 1.7.6 Ortslinie / Trägergraph einer Funktionenschar
        • 1.7.7 Gemeinsame Punkte einer Kurvenschar
    • 2 Geometrie
      • 2.1 Vektoren
        • 2.1.1 Rechnen mit Vektoren
        • 2.1.2 Lineare (Un-)Abhängigkeit von Vektoren
        • 2.1.3 Skalarprodukt von Vektoren
        • 2.1.4 Vektorprodukt (Kreuzprodukt)
        • 2.1.5 Spatprodukt
        • 2.1.6 Nachweis von Vierecken
      • 2.2 Geraden und Ebenen im Raum
        • 2.2.1 Geradengleichung in Parameterform
        • 2.2.2 Ebenengleichung in Parameterform
        • 2.2.3 Ebenengleichung in Normalenform
        • 2.2.4 Umwandlung: Parameterform - Normalenform
      • 2.3 Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen
        • 2.3.1 Lagebeziehung von Geraden
        • 2.3.2 Lagebeziehung von Gerade und Ebene
        • 2.3.3 Lagebeziehung von Ebenen
        • 2.3.4 Lotgeraden und orthogonale Ebenen
        • 2.3.5 Winkelhalbierende Gerade und Ebene
      • 2.4 Abstandsbestimmungen
        • 2.4.1 Abstand Punkt - Gerade
        • 2.4.2 Abstand paralleler Geraden
        • 2.4.3 Abstand windschiefer Geraden
        • 2.4.4 Abstand Punkt - Ebene
        • 2.4.5 Abstand Gerade - Ebene
        • 2.4.6 Abstand paralleler Ebenen
      • 2.5 Schnittwinkelberechnungen
        • 2.5.1 Schnittwinkel zwischen zwei Geraden
        • 2.5.2 Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene
        • 2.5.3 Schnittwinkel zweier Ebenen
      • 2.6 Spiegelung von Punkten
        • 2.6.1 Spiegelung eines Punktes an einem Punkt
        • 2.6.2 Spiegelung eines Punktes an einer Geraden
        • 2.6.3 Spiegelung eines Punktes an einer Ebene
      • 2.7 Die Kugel
        • 2.7.1 Kugelgleichung
        • 2.7.2 Lagebeziehung Punkt - Kugel
        • 2.7.3 Lagebeziehung Gerade - Kugel
        • 2.7.4 Lagebeziehung Ebene - Kugel
        • 2.7.5 Lagebeziehung zweier Kugeln
    • 3 Stochastik
      • 3.1 Wahrscheinlichkeitsrechnung
        • 3.1.1 Ereignisse
        • 3.1.2 Wahrscheinlichkeitsbegriff
        • 3.1.3 Laplace-Experiment, Laplace-Wahrscheinlichkeit
        • 3.1.4 Baumdiagramm und Vierfeldertafel
        • 3.1.5 Bedingte Wahrscheinlichkeit
        • 3.1.6 Unabhängigkeit von Ereignissen
      • 3.2 Urnenmodelle
        • 3.2.1 Grundformeln der Kombinatorik
        • 3.2.2 Berechnung von Wahrscheinlichkeiten
      • 3.3 Zufallsgrößen
        • 3.3.1 Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße
        • 3.3.2 Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung
        • 3.3.3 Binomialverteilte Zufallsgröße
      • 3.4 Beurteilende Statistik
        • 3.4.1 Hypothesentest
        • 3.4.2 Signifikanztest
    • Anhang
      • Analysis
      • Geometrie
      • Stochastik
  • Klausuren Q11 / Q12
    • Klausuren Q11/1
      • G9 Klausur Q11/1-005
        • Aufgaben
        • Lösung - Aufgabe 1
        • Lösung - Aufgabe 2
        • Lösung - Aufgabe 3
        • Lösung - Aufgabe 4
        • Lösung - Aufgabe 5
        • Lösung - Aufgabe 6
      • Klausur Q11/1-001
        • Aufgaben
        • Lösung - Aufgabe 1
        • Lösung - Aufgabe 2
        • Lösung - Aufgabe 3
        • Lösung - Aufgabe 4
        • Lösung - Aufgabe 5
      • Klausur Q11/1-002
        • Aufgaben
        • Lösung - Aufgabe 1
        • Lösung - Aufgabe 2
        • Lösung - Aufgabe 3
        • Lösung - Aufgabe 4
        • Lösung - Aufgabe 5
        • Lösung - Aufgabe 6
      • Klausur Q11/1-003
        • Aufgaben
        • Lösung - Aufgabe 1
        • Lösung - Aufgabe 2
        • Lösung - Aufgabe 3
        • Lösung - Aufgabe 4
        • Lösung - Aufgabe 5
        • Lösung - Aufgabe 6
      • Klausur Q11/1-004
        • Aufgaben
        • Lösung - Aufgabe 1
        • Lösung - Aufgabe 2
        • Lösung - Aufgabe 3
        • Lösung - Aufgabe 4
        • Lösung - Aufgabe 5
    • Klausuren Q11/2
      • G9 Klausur Q11/2-005
        • Aufgaben
        • Lösung - Aufgabe 1
        • Lösung - Aufgabe 2
        • Lösung - Aufgabe 3
        • Lösung - Aufgabe 4
        • Lösung - Aufgabe 5
        • Lösung - Aufgabe 6
      • Klausur Q11/2-001
        • Aufgaben
        • Lösung - Aufgabe 1
        • Lösung - Aufgabe 2
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    • 1.4 Grenzwerte
    • 1.5 Differentialrechnung
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    • 1.7 Funktionenscharen

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    • 2.1 Vektoren
    • 2.2 Geraden und Ebenen im Raum
    • 2.3 Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen
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    • 2.6 Spiegelung von Punkten
    • 2.7 Die Kugel

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    • 3.1 Wahrscheinlichkeitsrechnung
    • 3.2 Urnenmodelle
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    • 3.4 Beurteilende Statistik

    Anhang

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    • Stochastik

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    G9 Klausur Q11/1-005 Neu

    Spezielle Eigenschaften von Funktionen: Grenzwerte bestimmen, beschreiben und graphisch interpretieren, Verschieben von Funktionsgraphen, Stauchen von Funktionsgraphen

    Stetigkeit von Funktionen: Stetigkeit anhand eines Graphen beurteilen, Stetigkeit als Bedingung anwenden, Stetigkeit nachweisen

    Gebrochenrationale Funktion: Maximale Definitionsmenge angeben, Funktionsgraph zuordnen und begründen, Funktionsterm zuordnen

    Kurvendiskussion gebrochenrationale Funktion: Nullstelle, Polstellen, Verhalten an den Definitionslücken, schräge / waagrechte Asymptoten, Funktionsgraph skizzieren

    Gebrochenrationale Funktion: Anhand eines zu bestimmenden Grenzwerts auf die besondere Eigenschaft der Funktion schließen

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Abiturlösungen Mathematik Bayern 2016 Prüfungsteil A Analysis 2

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Prüfungsangabe Mathematik Abiturprüfung Bayern 2016 - Prüfungsteil A

Teilaufgabe 1a

Details
Kategorie: Analysis 2

Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{\ln{x}}{x^{2}}\) mit maximalem Definitionsbereich \(D\).

Geben Sie \(D\) sowie die Nullstelle von \(f\) an und bestimmen Sie \(\lim \limits_{x \, \to \, 0} f(x)\).

(3 BE)

  • maximale Definitionsmenge / maximaler Definitionsbereich
  • Grenzwertbetrachtung
  • Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs
  • Natürliche Logarithmusfunktion
  • Prüfungsteil A
  • Analysis 2
  • Nullstelle(n) eines Quotienten von Funktionen
  • Mathematik Abitur Bayern 2016
  • Nullstelle der natürlichen Logarithmusfunktion

Lösung zu Teilaufgabe 1a

Teilaufgabe 1b

Details
Kategorie: Analysis 2

Ermitteln Sie die \(x\)-Koordinate des Punkts, in dem der Graph von \(f\) eine waagrechte Tangente hat.

(4 BE)

  • Extremstelle
  • Tangente an den Graphen einer Funktion
  • Prüfungsteil A
  • waagrechte Tangente
  • Analysis 2
  • Mathematik Abitur Bayern 2016

Lösung zu Teilaufgabe 1b

Teilaufgabe 2a

Details
Kategorie: Analysis 2

Geben Sie jeweils den Term und den Definitionsbereich einer Funktion an, die die angegebene(n) Eigenschaft(en) besitzt.

Der Punkt \((2|0)\) ist ein Wendepunkt des Graphen von \(g\).

(2 BE)

  • Wendepunkt
  • Sinusfunktion
  • Verschiebung von Funktionsgraphen
  • Ganzrationale Funktion
  • Prüfungsteil A
  • Analysis 1
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Lösung zu Teilaufgabe 2a

Teilaufgabe 2b

Details
Kategorie: Analysis 2

Der Graph der Funktion \(h\) ist streng monoton fallend und rechtsgekrümmt.

(2 BE)

  • Natürliche Exponentialfunktion
  • Spiegelung von Funktionsgraphen
  • Natürliche Logarithmusfunktion
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  • Analysis 2
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Lösung zu Teilaufgabe 2b

Teilaufgabe 3a

Details
Kategorie: Analysis 2

Die Abbildung zeigt den Graphen der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(f\).

Abbildung zu Teilaufgabe 5 - Analysis 1 - Prüfungsteil A . Mathematik Abitur Bayern 2016

Bestimmen Sie mithilfe der Abbildung einen Näherungswert für \(\displaystyle \int_{3}^{5} f(x) \,dx\).

(2 BE)

  • Bestimmtes Integral
  • Flächeninhaltsberechnung durch Integration
  • Trapez
  • Flächeninhalt eines Trapezes
  • Prüfungsteil A
  • Analysis 1
  • Mathematik Abitur Bayern 2016

Lösung zu Teilaufgabe 3a

Teilaufgabe 3b

Details
Kategorie: Analysis 2

Die Funktion \(F\) ist die in \(\mathbb R\) definierte Stammfunktion von \(f\) mit \(F(3) = 0\).

Geben Sie mithilfe der Abbildung einen Näherungswert für die Ableitung von \(F\) an der Stelle \(x = 2\) an.

(1 BE)

  • Stammfunktion
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Lösung zu Teilaufgabe 3b

Teilaufgabe 3c

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Kategorie: Analysis 2

Zeigen Sie, dass \(\displaystyle F(b) = \int_{3}^{b} f(x) \, dx\) mit \(b \in \mathbb R\) gilt.

(2 BE)

  • Stammfunktion
  • Integralfunktion
  • Bestimmtes Integral
  • Prüfungsteil A
  • Analysis 2
  • Mathematik Abitur Bayern 2016

Lösung zu Teilaufgabe 3c

Teilaufgabe 4

Details
Kategorie: Analysis 2

Abbildung 2 zeigt den Graphen \(G_{k}\) einer in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(k\). Skizzieren Sie in Abbildung 2 den Graphen der zugehörigen Ableitungsfunktion \(k'\). Berücksichtigen Sie dabei insbesondere einen Näherungswert für die Steigung des Graphen \(G_{k}\) an dessen Wendepunkt \((0|-3)\) sowie die Nullstelle von \(k'\).

Abbildung 2 zu Teilaufgabe 4 - Analysis 2 - Prüfungsteil A - Mathematik Abitur Bayern 2016

Abb. 2

(4 BE)

  • Tiefpunkt
  • Wendepunkt
  • Wendetangente
  • Tangentensteigung
  • Prüfungsteil A
  • waagrechte Tangente
  • Analysis 2
  • Mathematik Abitur Bayern 2016
  • Nullstelle(n) einer Ableitungsfunktion interpretieren / begründen

Lösung zu Teilaufgabe 4

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Mathematik Abiturvorbereitung Bayern

 2023 Christian Rieger・mathelike

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