Abiturlösungen Mathematik Bayern 2012

Aufgaben mit ausführlichen Lösungen

Ein den oberen Rand des Kunstwerks genauer darstellendes Modell liefert der Graph der in \(\mathbb R\) definierten ganzrationalen Funktion \(q\) vierten Grades mit \(q(x) = -0{,}11x^4 - 0{,}81x^2 + 5\,\). Der Graph von \(q\) wird mit \(G_q\) bezeichnet.

Weisen Sie rechnerisch nach, dass \(G_q\) symmetrisch bezüglich der \(y\)-Achse ist, durch die Punkte \(A\) und \(B\) verläuft und genau einen Extrempunkt besitzt.

(7 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1b

 

\[q(x) = -0{,}11x^4 -0{,}81x^2 + 5 \,; \quad D_q = \mathbb R\]

 

Nachweis der Achsensymmetrie von \(G_q\)

Symmetrieverhalten (bzgl. des Koordinatensystems)

Symmetrieverhalten von Funktionsgraphen bzgl. des Koordinatensystems

\(f(-x) = f(x) \hspace{32px} \Longrightarrow \quad G_f\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse

\(f(-x) = -f(x) \hspace{20px} \Longrightarrow \quad G_f\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung

\[\begin{align*} q(-x) &= -0{,}11(-x)^4 -0{,}81(-x)^2 + 5 \\[0.8em] &= -0{,}11x^4 - 0{,}81x^2 + 5 \\[0.8em] &= q(x) \end{align*}\]

 

Nachweis: \(A\,,\,B\, \in q\)

 

1. Lösungsansatz: Punktprobe

 

\[A\,(-2|0)\,, \quad B\,(2|0)\,, \quad q(x) = -0{,}11x^4 -0{,}81x^2 + 5\]

 

\[\begin{align*} A \in q \, \colon \enspace 0 &= -0{,}11 \cdot (-2)^4 - 0{,}81 \cdot (-2)^2 + 5 \\[0.8em] 0 &= -0{,}11 \cdot 16 - 0{,}81 \cdot 4 + 5 \\[0.8em] 0 &= -1{,}76 - 3{,}24 + 5 \\[0.8em] 0 &= 0 \enspace (\text{w}) \end{align*}\]

 

\[\begin{align*} B \in q \, \colon \enspace 0 &= -0{,}11 \cdot 2^4 - 0{,}81 \cdot 2^2 + 5 \\[0.8em] 0 &= -0{,}11 \cdot 16 - 0{,}81 \cdot 4 + 5 \\[0.8em] 0 &= -1{,}76 - 3{,}24 + 5 \\[0.8em] 0 &= 0 \enspace (\text{w}) \end{align*}\]

 

2. Lösungsansatz: Nullstellen von \(q\)

 

\[A\,(-2|0)\,, \quad B\,(2|0)\,, \quad q(x) = -0{,}11x^4 -0{,}81x^2 + 5\]

 

Die Punkte \(A\) und \(B\) liegen auf der \(x\)-Achse. 

 

Nullstellen von \(q\) berechnen:

 

\[\begin{align*} -0{,}11x^4 - 0{,}81x^2 + 5 &= 0 & &| \; \text{Substitution:} \enspace u = x^2 \\[0.8em] -0{,}11u^2 -0{,}81u + 5 &= 0 \end{align*}\]

Lösungsformel für quadratische Gleichungen

Lösungsformel für quadratische Gleichungen (vgl. Merkhilfe)

\[ax^2 + bx + c = 0 \,, \qquad a, b, c \in \mathbb R \,, \quad a \neq 0\]

\[\begin{align*} x_{1,2} &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \quad b^2 \geq 4ac \\[0.8em] x_{1,2} &= \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}, \quad D \geq 0 \end{align*}\]

Diskriminante \(D = b^2 -4ac \;\):

\(D < 0\,\): keine Lösung

\(D = 0\,\): genau eine Lösung

\(D > 0\,\): zwei verschiedene Lösungen

\[\begin{align*} u_{1,2} &= \frac{0{,}81 \pm \sqrt{(-0{,}81)^2 - 4 \cdot (-0{,}11) \cdot 5}}{2 \cdot (-0{,}11)} \\[0.8em] &= \frac{0{,}81 \pm 1{,}69}{-0{,}22} \\[0.8em] u_1 &= -\frac{125}{11} \quad \vee \quad u_2 = 4 \end{align*}\]

 

Resubstitution:

 

\[\begin{align*} x^2 &= u_1 \\[0.8em] x^2 &= -\frac{125}{11} & &\Longrightarrow \quad \text{keine Lösung} \\[2.4em] x^2 &= u_2 \\[0.8em] x^2 &= 4 & &| \; \sqrt{\quad} \\[0.8em] x_{1,2} &= \pm 2 \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad A\,(-2|0)\, \enspace B\,(2|0)\]

 

Nachweis des einzigen Extrempunktes von \(G_q\)

 

\[g(x) = -0{,}11x^4 -0{,}81x^2 + 5 \,, \quad D_q = \mathbb R\]

 

Notwendige Bedingung: \(\;q'(x) \overset{!}{=} 0\)

 

Erste Ableitung \(q'(x)\) bilden:

Ableitung einer Potenzfunktion

Ableitung einer Potenzfunktion

\[f(x) = x^r \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = rx^{r - 1} \quad (r \in \mathbb R)\]

(vgl. Merkhilfe)

\[\begin{align*}q'(x) &= -0{,}11 \cdot 4x^3 - 0{,}81 \cdot 2x \\[0.8em] &= -0{,}44x^3 - 1{,}62x \\[0.8em] &= -x\big( 0{,}44x^2 + 1{,}62 \big) \end{align*}\]

 

\[-x\big( \underbrace{0{,}44x^2 + 1{,}62}_{>\,0}\big) = 0\]

 

\(\Longrightarrow \quad x = 0\) ist einzige Nullstelle von \(g'(x)\,\). Folglich kann \(G_q\) nur einen Extrempunkt besitzen.

 

Extrempunkt bestätigen bzw. Terrassenpunkt ausschließen:

Terrassenpunkt

Anwendung der Differetialrechnung:

Terrassenpunkt

Wenn \(f'(x_0) = f''(x_0) = 0\) ist und \(f''\) an der Stelle \(x_0\) das Vorzeichen wechselt, so hat \(G_f\) an der Stelle \(x_0\) einen Terrassenpunkt.

Zweite Ableitung g''(x) bilden:

Ableitung einer Potenzfunktion

Ableitung einer Potenzfunktion

\[f(x) = x^r \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = rx^{r - 1} \quad (r \in \mathbb R)\]

(vgl. Merkhilfe)

\[\begin{align*} g'(x) = -0{,}44x^3 - 1{,}62x \quad \Longrightarrow \quad g''(x) &= -0{,}44 \cdot 3x^2 - 1{,}62 \\[0.8em] &= -1{,}32x^2 -1{,}62\end{align*}\]

 

\[q''(0) = -1{,}62\]

 

\(q''(0) \neq 0 \quad \Longrightarrow \quad G_q\,\) besitzt genau einen Extrempunkt.

 

Ergänzung: Art und Lage des Extrempunkts

Art von Extrempunkten mithilfe der zweiten Ableitung nachweisen

Anwendung der Differentialrechnung:

Art von Extrempunkten mithilfe der zweiten Ableitung nachweisen

Ist \(f'(x_{0}) = 0\) und \(f''(x_{0}) > 0\), so hat der Graph \(G_{f}\) an der Stelle \(x_{0}\) ein relatives Minimum (Tiefpunkt).

Ist \(f'(x_{0}) = 0\) und \(f''(x_{0}) < 0\), so hat der Graph \(G_{f}\) an der Stelle \(x_{0}\) ein relatives Maximum (Hochpunkt).

\(\left. \begin{align*} q'(0) &= 0 \\[0.8em] q''(0) &< 0 \end{align*} \right\} \Longrightarrow \quad\) \(G_q\) hat an der Stelle \(x = 0\) ein lokales Maximum.

 

\[g(0) = -0{,}11 \cdot 0^4 -0{,}81 \cdot 0^2 + 5 = 5\]

 

\(\Longrightarrow \quad\) Der Punkt \(C\,(0|5)\) (siehe Teilaufgabe 1a) ist Hochpunkt und einziger Extrempunkt von \(G_q\,\).