Skizzieren Sie den Graphen der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(f : x \mapsto 4 - x^2\). Berechnen Sie den Inhalt des Flächenstücks, das der Graph von \(f\) mit der \(x\)-Achse einschließt.
(5 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1
Skizze der Funktion \(f\)
Der Graph der Funktion \(f(x) = 4 - x^2\) ist eine nach unten geöffnete Parabel mit dem Öffnungsfaktor \(a = -1\) und dem Scheitelpunkt \(S(0|4)\). Sie entsteht durch Spiegelung der Normalparabel \(y = x^2\) an der \(x\)-Achse und Verschiebung um \(c = 4\) in Richtung der \(y\)-Achse.
Inhalt des Flächenstücks, das \(G_f\) mit der \(x\)-Achse einschließt
Das bestimmte Integral \(\int_{-2}^{2} f(x)~dx\) ist gleich dem Flächeninhalt \(A\) des Flächenstücks, das der Graph von \(f\) zwischen den Nullstellen \(x_{N_1} = -2\) und \(x_{N_2} = 2\) mit der \(x\)-Achse einschließt.
\[A = \int_{-2}^{2} f(x)~dx\]
Nullstellen der Funktion \(f\) bestimmen:
\[\begin {align*} f(x) &= 4 - x^2 \\[0.8em] &= (x - 2)(x + 2) \end {align*}\]
\[\Longrightarrow \quad x_{N_{1,2}} = \pm 2\]
Stammfunktion \(F(x)\) der Funktion \(f(x)\) bestimmen:
Stammfunktion einer Potenzfunktion
\[f(x) = x^r \quad \Longrightarrow \quad F(x) = \frac{1}{r + 1} \cdot x^{r + 1} + C\]
\[r \neq -1\]
\[f(x) = 4 - x^2 \quad \Longrightarrow \quad F(x) = 4x - \frac{1}{3}x^3 + C\]
Flächeninhalt \(A\) berechnen:
Berechnung bestimmter Integrale
\[\int_{a}^{b} f(x)\,dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)\]
Dabei ist \(F\) eine beliebige Stammfunktion zu \(f\).
(vgl. Merkhilfe)
Eigenschaften des bestimmten Integrals - Integrationsregeln
Identische Integrationsgrenzen:
\[\int_{a}^{a} f(x)\,dx = 0\]
Faktorregel:
\(\displaystyle \int_{a}^{b} c \cdot f(x)\,dx = c \cdot \int_{a}^{b} f(x)\,dx\) mit \(c \in \mathbb R\)
Summenregel:
\[\int_{a}^{b} \left[f(x) \pm g(x) \right] dx = \int_{a}^{b}f(x)\,dx \pm \int_{a}^{b}g(x)\,dx\]
Vertauschungsregel:
\[\int_{a}^{b}f(x)\,dx = -\int_{b}^{a}f(x)\,dx\]
Zerlegung in Teilintervalle:
\(\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx = \int_{a}^{c}f(x)\,dx + \int_{c}^{b}f(x)\,dx\) mit \(a \leq c \leq b\)
\[\begin{align*} A &= \int_{-2}^{2} f(x)\;dx \\[0.8em] &= \int_{-2}^{2} \left ( 4 - x^2 \right )\;dx \\[0.8em] &= \left [4x - \frac{1}{3}x^3 \right]_{-2}^{2} \\[0.8em] &= 4 \cdot 2 - \frac{1}{3} \cdot 2^3 - \left ( 4 \cdot (-2) - \frac{1}{3} \cdot (-2)^3 \right ) \\[0.8em] &= 8 - \frac{8}{3} - \left ( -8 + \frac{8}{3}\right ) \\[0.8em] &= 10 \frac{2}{3} \end{align*}\]
Der Flächeninhalt \(A\), des Flächenstücks, das der Graph von \(f\) mit der \(x\)-Achse einschließt beträgt \(10 \;\)\(\frac{2}{3}\) FE (Flächeneinheiten).
