Betrachtet wird die Tangente an den Graphen von \(f_a\) im Punkt \((0|f_a (0))\). Bestimmen Sie diejenigen Werte von \(a\), für die diese Tangente eine positive Steigung hat und zudem die \(x\)-Achse in einem Punkt schneidet, dessen \(x\)-Koordinate größer als \(\dfrac{1}{2}\) ist.

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 4b

 

\[f_a(x) = a \cdot e^{-x} + 3; \; D_{f_a} = \mathbb R, \; a \in \mathbb R \backslash \{0\}\]

 

Die Tangente an \(G_{f_a}\) im Punkt \((0|f_a (0))\) hat

  •  (I) eine positive Tangentensteigung und
  • (II) eine Nullstelle \(\textcolor{#0087c1}{x > \dfrac{1}{2}}\)

 

Bedingung (I)

Die Tangente hat eine positive Tangentensteigung, wenn \(\textcolor{#cc071e}{f'_{a}(x) > 0}\) ist.

Tangentensteigung

Anwendung der Differetialrechnung:

Steigung \(m_{T}\) einer Tangente \(T\) an den Graphen einer Funktion \(f\) im Punkt \(P\,(\,x_0\,|\,f(x_0)\,)\)

\[m_{T} = f'(x_0)\]

(vgl. Merkhilfe)

\(f'_a(x) = -a \cdot e^{-x}\) (vgl. Teilaufgabe 4a)

 

\[\textcolor{#cc071e}{f'_{a}(x) > 0} \enspace \Leftrightarrow \enspace \textcolor{#cc071e}{-a \cdot \underbrace{e^{-x}}_{>\,0} > 0} \enspace \Rightarrow \enspace \textcolor{#cc071e}{a < 0}\]

Graphen der Funktionen x → eˣ und x → e⁻ˣ(Skizze nicht verlangt)

 

Bedingung (II)

Zunächst ist die Lage der Nullstelle in Abhängigkeit des Parameters \(a\) zu ermitteln. Hierfür muss die Gleichung der Tangente \(T\) formuliert werden.

Allgemeine Geradengleichung

Allgemeine Geradengleichung

\[y = mx + t\]

Wobei \(m\) die Steigung und \(t\) der \(y\)-Achsenabschnitt der Geraden ist.

\[T \colon y = mx + t\]

 

Steigung \(m\) der Tangente im Punkt \((\textcolor{#e9b509}{0}|f_a(0))\):

Tangentensteigung

Anwendung der Differetialrechnung:

Steigung \(m_{T}\) einer Tangente \(T\) an den Graphen einer Funktion \(f\) im Punkt \(P\,(\,x_0\,|\,f(x_0)\,)\)

\[m_{T} = f'(x_0)\]

(vgl. Merkhilfe)

\(m = f'_{a}(\textcolor{#e9b509}{0}) = -a\) (vgl. Teilaufgabe 4a)

 

Da der Punkt \((0|f_a(0))\) auf der \(y\)-Achse liegt, ergibt sich der \(y\)-Achsenabschnitt zu \(t = f_a(0)\).

 

\[f_a(0) = a \cdot e^{0} + 3 = a + 3\]

 

\[\Rightarrow \enspace T \colon y = -a \cdot x + a + 3\]

 

Lage der Nullstelle in Abhängigkeit des Paramers \(a\) bestimmen:

 

\[\begin{align*}0 &= -a \cdot x + a + 3 &&| + a \cdot x \\[0.8em] a \cdot x &= a + 3 &&| : a \\[0.8em] x &= \frac{a + 3}{a} \end{align*}\]

 

Bedingung (II) formulieren: Nullstelle \(\textcolor{#0087c1}{x > \dfrac{1}{2}}\)

 

\[\begin{align*}\textcolor{#0087c1}{\frac{a + 3}{a}} &\textcolor{#0087c1}{>} \textcolor{#0087c1}{\frac{1}{2}} &&| \cdot a \; \text{mit} \; \textcolor{#cc071e}{a < 0}\; \text{(vgl. Bedingung (I))} \\[0.8em]  a + 3 &\textcolor{#cc071e}{<} \frac{1}{2}a &&| -\frac{1}{2}a - 3 \\[0.8em] \frac{1}{2}a &< -3 &&| \cdot 2 \\[0.8em] a &< -6 \end{align*}\]

 

Für \(a < -6\) hat die Tangente an den Graphen von \(f_a\) im Punkt \((0|f_a(0))\) eine positive Steigung und schneidet die \(x\)-Achse in einem Punkt, dessen \(x\)-Koordinate größer als \(\dfrac{1}{2}\) ist.