Weißen Sie rechnerisch nach, dass die folgende Aussage zutrifft:
Die Tangente an \(G_g\) im Koordinatenursprung ist die Gerade durch die Punkte \((\textit{-1}|\textit{-1})\) und \((\textit{1}|\textit{1})\).
(3 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 2b
Die Gerade durch die Punkte \((-1|-1)\) und \((1|1)\) hat die Gleichung \(y = x\) (Winkelhalbierende des I. und III. Quadranten).
Gleichung der Tangente an \(G_g\) im Koordinatenursprung \((0|0)\):
Ansatz: \(y = m \cdot x\) (Ursprungsgerade)
Tangentensteigung berechnen:
Anwendung der Differetialrechnung:
Steigung \(m_{T}\) einer Tangente \(T\) an den Graphen einer Funktion \(f\) im Punkt \(P\,(\,x_0\,|\,f(x_0)\,)\)
\[m_{T} = f'(x_0)\]
(vgl. Merkhilfe)
\[m = g'(0)\]
Ableitungsfunktion \(g'\) bilden:
Hierfür wird u. a. die Kettenregel und die Ableitung der Sinusfunktion benötigt.
\[g(x) = 2 \cdot \textcolor{#0087c1}{\sin{\left(\textcolor{#cc071e}{\frac{1}{2}x}\right)}}\]
Ableitungen der Grundfunktionen
\[c' = 0 \enspace (c \in \mathbb R)\]
\[\left( x^r \right)' = r \cdot x^{r - 1} \enspace (r \in \mathbb R)\]
\[\left( \sqrt{x} \right)' = \frac{1}{2\sqrt{x}}\]
\[\left( \sin{x} \right)' = \cos{x}\]
\[\left( \cos{x} \right)' = -\sin{x}\]
\[\left( \ln{x} \right)' = \frac{1}{x}\]
\[\left( \log_{a}{x}\right)' = \frac{1}{x \cdot \ln{a}}\]
\[\left( e^x \right)' = e^x\]
\[\left(a^x \right)' = a^x \cdot \ln{a}\]
vgl. Merkhilfe
Faktorregel
\[\begin{align*}f(x) &= a \cdot \textcolor{#0087c1}{u(x)} \\[0.8em] f'(x) &= a \cdot \textcolor{#0087c1}{u'(x)}\end{align*}\]
Summenregel
\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(x)} + \textcolor{#cc071e}{v(x)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(x)} + \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]
Produktregel
\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} + \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]
Quotientenregel
\[\begin{align*}f(x) &= \dfrac{\textcolor{#0087c1}{u(x)}}{\textcolor{#cc071e}{v(x)}} \\[0.8em] f'(x) &= \dfrac{\textcolor{#0087c1}{u'(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} - \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}}{[\textcolor{#cc071e}{v(x)}]^{2}}\end{align*}\]
Kettenregel
\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(}\textcolor{#cc071e}{v(x)}\textcolor{#0087c1}{)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(}\textcolor{#cc071e}{v(x)}\textcolor{#0087c1}{)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]
vgl. Merkhilfe
\[g'(x) = 2 \cdot \textcolor{#0087c1}{\cos{\left(\textcolor{#cc071e}{\frac{1}{2}x}\right)}} \cdot \textcolor{#cc071e}{\frac{1}{2}} = \cos{\left( \frac{1}{2}x \right)}\]
\[m = g'(0) =\cos{\left( \frac{1}{2}\cdot 0 \right)} = 1\]
Somit ist \(y = x\) die Gleichung der Tangente an \(G_g\) im Koordinatenursprung und die Aussage
Die Tangente an \(G_g\) im Koordinatenursprung ist die Gerade durch die Punkte \((\textit{-1}|\textit{-1})\) und \((\textit{1}|\textit{1})\).
trifft zu.
