In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte \(A\,(1|7|3)\), \(B\,(6|-7|1)\) und \(C\,(-2|1|-3)\) gegeben.

Weisen Sie nach, dass die Punkte \(A\), \(B\) und \(C\) ein rechtwinkliges Dreieck festlegen, dessen Hypothenuse die Strecke \([AB]\) ist und dessen kürzere Kathete die Länge 9 hat.

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe a

 

Nachweis, dass das Dreieck \(ABC\) rechtwinklig ist

 

Wenn die Strecke \([AB]\) die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks \(ABC\) festlegt, dann legen die Strecken \([AC]\) und \([BC]\) die Katheten fest.

Folglich muss gelten: \(\; \overrightarrow{AC} \perp \overrightarrow{BC}\,\).

Skalarprodukt - Orthogonale Vektoren

Anwendung des Skalarprodukts:

Orthogonale (zueinander senkrechte) Vektoren (vgl. Merkhilfe)

\[\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b} \quad \Longleftrightarrow \quad \overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} \quad (\overrightarrow{a} \neq \overrightarrow{0},\; \overrightarrow{b} \neq \overrightarrow{0})\]

\[\overrightarrow{CA} = \overrightarrow A - \overrightarrow C = \begin {pmatrix} 1 \\ 7 \\ 3 \end {pmatrix} - \begin {pmatrix} -2 \\ 1 \\ -3 \end {pmatrix} = \begin {pmatrix} 3 \\ 6 \\ 6 \end {pmatrix} = 3 \cdot \begin {pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end {pmatrix}\]

\[\overrightarrow{CB} = \overrightarrow B - \overrightarrow C = \begin {pmatrix} 6 \\ -7 \\ 1 \end {pmatrix} - \begin {pmatrix} -2 \\ 1 \\ -3 \end {pmatrix} = \begin {pmatrix} 8 \\ -8 \\ 4 \end {pmatrix} = 4 \cdot \begin {pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end {pmatrix}\]

Skalarprodukt

Skalarprodukt

Unter dem Skalarprodukt \(\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b}\) zweier Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) versteht man das Produkt aus den Beträgen der beiden Vektoren und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels \(\varphi\).

\[\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} = \vert \overrightarrow{a} \vert \cdot \vert \overrightarrow{b} \vert \cdot \cos{\varphi} \quad (0^{\circ} \leq \varphi \leq 180^{\circ})\]

Berechnung eines Skalarprodukts im \(\boldsymbol{\mathbb R^{3}}\) (vgl. Merkhilfe)

\[\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{pmatrix} = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + a_{3}b_{3}\]

\[\begin{align*} \overrightarrow{CA} \circ \overrightarrow{CB} &= \left[ 3 \cdot \begin {pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end {pmatrix} \right] \circ \left[ 4 \cdot \begin {pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1\end {pmatrix} \right] \\[0.8em] &= 12 \cdot \left[1 \cdot 2 + 2 \cdot (-2) + 2 \cdot 1 \right] \\[0.8em] &= 0 \end{align*}\]

\[\Longrightarrow \quad \overrightarrow{CA} \perp \overrightarrow{CB}\]

 

\(\Longrightarrow \quad\) Die Punkte \(A\), \(B\) und \(C\) legen ein rechtwinkliges Dreieck fest.

 

Nachweis, dass die kürzere Kathete des Dreiecks \(ABC\) die Länge \(9\) hat

Betrag eines Vektors

Betrag eines Vektors

\[ \vert \overrightarrow{a} \vert = \sqrt{\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{a}} = \sqrt{{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2}\]

(vgl. Merkhilfe)

\[\frac{\left| \overrightarrow{CA} \right|}{\left| \overrightarrow{CB} \right|} = \frac{\left| 3 \cdot \begin {pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end {pmatrix} \right|}{\left| 4 \cdot \begin {pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end {pmatrix} \right|} = \frac{3 \cdot \overbrace{\left| \begin {pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end {pmatrix} \right|}^{3}}{4 \cdot \underbrace{\left| \begin {pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end {pmatrix} \right|}_{3}} = \frac{3}{4} \quad \Longrightarrow \quad \left| \overrightarrow{CA} \right| = \frac{3}{4} \cdot \left| \overrightarrow{CB} \right|\]

 

\(\Longrightarrow \quad\) Die Strecke \([AC]\) legt die kürzere Kathete fest.

 

\[\left| \overrightarrow{CA} \right| = \left| 3 \cdot \begin {pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end {pmatrix} \right| = 3 \cdot \left| \begin {pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end {pmatrix} \right| = 3 \cdot \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = 9\]