Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto -\frac{8}{27}x^3+ax^2\) mit \(a \in \mathbb R\). Die Nullstellen von \(f\) sind \(0\) und \(\frac{9}{4}\). Abbildung 1 zeigt den Graphen \(G_f\) von \(f\).
Bestimmen Sie rechnerisch den Wert von \(a\)
(zur Kontrolle: \(a = \frac{2}{3}\))
(2 BE)
Abb. 1
Lösung zu Teilaufgabe 1a
\[f(x) = -\frac{8}{27}x^3+ax^2; \; D_f = \mathbb R, \; a \in \mathbb R\]
Mithilfe der Nullstelle \(x = \frac{9}{4}\) ergibt sich:
\[\begin{align*} f\left( \frac{9}{4}\right) &= 0 \\[0.8em] -\frac{8}{27} \cdot \left( \frac{9}{4} \right)^3 + a \cdot \left( \frac{9}{4}\right)^2 &= 0 &&\Big| : \left( \frac{9}{4}\right)^2 \\[0.8em] -\frac{8}{27} \cdot \frac{9}{4} + a &= 0 \\[0.8em] -\frac{2}{3} + a &= 0 &&\Big| + \frac{2}{3} \\[0.8em] a &= \frac{2}{3} \end{align*}\]
