Abiturlösungen Mathematik Bayern 2020

Aufgaben mit ausführlichen Lösungen

Die Abbildung 1 zeigt einen Teil des Graphen \(G_{h}\) einer in \(\mathbb R \backslash \{2\}\) definierten gebrochenrationalen Funktion \(h\). Die Funktion \(h\) hat bei \(x = 2\) eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel; zudem besitzt \(G_{h}\) die Gerade mit der Gleichung \(y = x - 7\) als schräge Asymptote.

Abbildung 1 Analysis 2 Prüfungsteil A Mathematik Abitur Bayern 2020

Zeichnen Sie in die Abbildung 1 die Asymptoten von \(G_{h}\) ein und skizzieren Sie im Bereich \(x < 2\) einen möglichen Verlauf von \(G_{h}\).

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2a

 

Einzeichnen der Asymptoten von \(G_{h}\)

Senkrechte Asymptote mit der Gleichung x = 2 und schräge Asymptote mit der Gleichung y = x - 7 der gebrochenrationalen Funktion h

Senkrechte und schräge Asymptote von \(G_{h}\)

 

Begründung (nicht verlangt)

Asymptoten gebrochenrationaler Funktionen

Asymptoten gebrochenrationaler Funktionen

Eine Funktion \(f(x) = \dfrac{z(x)}{n(x)} = \dfrac{a_{m}x^{m} + a_{m - 1}x^{m - 1} + \dots + a_{1}x +a_{0}}{b_{n}x^{n} + b_{n - 1}x^{n - 1} + \dots + b_{1}x + b_{0}}\), die sich als Quotient zweier ganzrationaler Funktionen (Polynome) \(z(x)\) und \(n(x)\) darstellen lässt, heißt gebrochenrationale Funktion. Die Nullstellen des Nennerpolynoms \(n(x)\) können nicht in der Definitionsmenge \(D_{f}\) enthalten sein und werden als Definitionslücken bezeichnet.

Senkrechte Asymptoten

Wenn an einer Definitionslücke \(x_{0}\) einer gebrochenrationalen Funktion \(f\)

\(\begin{align*}\lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{-}}f(x) = +\infty \enspace &\text{oder} \enspace \lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{-}}f(x) = -\infty \\[0.8em] \text{und} \enspace \lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{+}}f(x) = +\infty \enspace &\text{oder} \enspace \lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{+}}f(x) = -\infty \end{align*}\)

gilt, so nennt man \(x_{0}\) eine Polstelle von \(f\) und die Gerade mit der Gleichung \(x = x_{0}\) senkrechte Asymptote des Graphen von \(f\)

Waagrechte und schräge Asymptoten

Der Graph einer gebrochenrationalen Funktion \(f\) hat für \(x \to - \infty\) bzw. \(x \to + \infty\) im Fall

\(m < n\): die \(x\)-Achse \((y = 0)\) als waagrechte Asymptote,
\(m = n\): eine waagrechte Asymptote parallel zur \(\boldsymbol{x}\)-Achse mit der Gleichung \(y = \dfrac{a_{m}}{b_{n}}\),
\(m = n + 1\): eine schräge Asymptote,
\(m > n + 1\): keine waagrechte oder schräge Asymptote.

An der Polstelle \(x = 2\) besitzt der Graph der gebrochenrationalen Funktion \(h\) eine senkrechte Asymptote.

Die schräge Asymptote mit der Gleichung \(y = x - 7\) bestimmt das Verhalten von \(G_{h}\) im Unendlichen. Abbildung 1 zeigt den asymptotischen Verlauf von \(G_{h}\) für \(x \to +\infty\).

 

Skizzieren eines möglichen Verlaufs von \(G_{h}\) für \(x < 2\) 

Möglicher Verlauf des Graphen der gebrochenrationalen Funktion im Bereich x < 2

Möglicher Verlauf von \(G_{h}\) im Bereich /(x < 2\)

 

Begründung (nicht verlangt)

Asymptoten gebrochenrationaler Funktionen

Asymptoten gebrochenrationaler Funktionen

Eine Funktion \(f(x) = \dfrac{z(x)}{n(x)} = \dfrac{a_{m}x^{m} + a_{m - 1}x^{m - 1} + \dots + a_{1}x +a_{0}}{b_{n}x^{n} + b_{n - 1}x^{n - 1} + \dots + b_{1}x + b_{0}}\), die sich als Quotient zweier ganzrationaler Funktionen (Polynome) \(z(x)\) und \(n(x)\) darstellen lässt, heißt gebrochenrationale Funktion. Die Nullstellen des Nennerpolynoms \(n(x)\) können nicht in der Definitionsmenge \(D_{f}\) enthalten sein und werden als Definitionslücken bezeichnet.

Senkrechte Asymptoten

Wenn an einer Definitionslücke \(x_{0}\) einer gebrochenrationalen Funktion \(f\)

\(\begin{align*}\lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{-}}f(x) = +\infty \enspace &\text{oder} \enspace \lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{-}}f(x) = -\infty \\[0.8em] \text{und} \enspace \lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{+}}f(x) = +\infty \enspace &\text{oder} \enspace \lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{+}}f(x) = -\infty \end{align*}\)

gilt, so nennt man \(x_{0}\) eine Polstelle von \(f\) und die Gerade mit der Gleichung \(x = x_{0}\) senkrechte Asymptote des Graphen von \(f\)

Waagrechte und schräge Asymptoten

Der Graph einer gebrochenrationalen Funktion \(f\) hat für \(x \to - \infty\) bzw. \(x \to + \infty\) im Fall

\(m < n\): die \(x\)-Achse \((y = 0)\) als waagrechte Asymptote,
\(m = n\): eine waagrechte Asymptote parallel zur \(\boldsymbol{x}\)-Achse mit der Gleichung \(y = \dfrac{a_{m}}{b_{n}}\),
\(m = n + 1\): eine schräge Asymptote,
\(m > n + 1\): keine waagrechte oder schräge Asymptote.

Da \(x = 2\) eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel ist (vgl. Angabe), muss \(G_{h}\) für \(x \to 2^{-}\) (Annäherung „von links") ebenso wie für \(x \to 2^{+}\) (Annäherung „von rechts") gegen \(+\infty\) verlaufen.

 

\[\lim \limits_{x \,\to\,2^{-}} h(x) = +\infty; \quad \lim \limits_{x \,\to\,2^{+}} h(x) = +\infty\]

 

Da die schräge Asymptote mit der Gleichung \(y = x - 7\) das Verhalten von \(G_{h}\) im Unendlichen bestimmt, nähert sich \(G_{h}\) für \(x \to -\infty\) ebenfalls dieser schrägen Asymptote an.