Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von \(g\) im Punkt \((8|g(8))\).
(4 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1b
\[g(x) = \sqrt{x + 1} -2; \; D = [-1;+\infty[\]
Zunächst wird die \(y\)-Koordinate des Punktes \((8|g(8))\) berechnet:
\[g(8) = \sqrt{8 + 1} - 2 = 3 - 2 = 1 \quad \Longrightarrow \quad (8|1)\]
Der Ansatz für die Gleichung der Tangente \(T\) kann mit der allgemeinen Geradengleichung erfolgen.
Allgemeine Geradengleichung
\[y = mx + t\]
Wobei \(m\) die Steigung und \(t\) der \(y\)-Achsenabschnitt der Geraden ist.
\[T \colon y = mx + t\]
Tangentensteigung berechnen:
Die erste Ableitung \(g'\) beschreibt die Steigung einer Tangente an den Graphen von \(g\).
Die Ableitungsfunktion \(g'(x)\) kann mithilfe der Ableitung einer Wurzelfunktion und der Kettenregel gebildet werden. Als Alternative formuliert man die Wurzelfunktion mithilfe des Potenzgesetzes \(\sqrt[n]{a^{m}} = a^{\frac{m}{n}}\) (hier \(\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}\)) vorab in der Potenzschreibweise.
\[g(x) = \sqrt{x + 1} - 2 = (x + 1)^{\frac{1}{2}} - 2\]
Ableitungen der Grundfunktionen
\[c' = 0 \enspace (c \in \mathbb R)\]
\[\left( x^r \right)' = r \cdot x^{r - 1} \enspace (r \in \mathbb R)\]
\[\left( \sqrt{x} \right)' = \frac{1}{2\sqrt{x}}\]
\[\left( \sin{x} \right)' = \cos{x}\]
\[\left( \cos{x} \right)' = -\sin{x}\]
\[\left( \ln{x} \right)' = \frac{1}{x}\]
\[\left( \log_{a}{x}\right)' = \frac{1}{x \cdot \ln{a}}\]
\[\left( e^x \right)' = e^x\]
\[\left(a^x \right)' = a^x \cdot \ln{a}\]
vgl. Merkhilfe
Faktorregel
\[\begin{align*}f(x) &= a \cdot \textcolor{#0087c1}{u(x)} \\[0.8em] f'(x) &= a \cdot \textcolor{#0087c1}{u'(x)}\end{align*}\]
Summenregel
\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(x)} + \textcolor{#cc071e}{v(x)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(x)} + \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]
Produktregel
\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} + \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]
Quotientenregel
\[\begin{align*}f(x) &= \dfrac{\textcolor{#0087c1}{u(x)}}{\textcolor{#cc071e}{v(x)}} \\[0.8em] f'(x) &= \dfrac{\textcolor{#0087c1}{u'(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} - \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}}{[\textcolor{#cc071e}{v(x)}]^{2}}\end{align*}\]
Kettenregel
\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(}\textcolor{#cc071e}{v(x)}\textcolor{#0087c1}{)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(}\textcolor{#cc071e}{v(x)}\textcolor{#0087c1}{)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]
vgl. Merkhilfe
\[g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x + 1}} \cdot 1 - 0 = \frac{1}{2\sqrt{x + 1}}\]
oder
\[\begin{align*}g'(x) &= \frac{1}{2} \cdot (x + 1)^{-\frac{1}{2}} \cdot 1 - 0 &&| \; a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}; \; a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}\\[0.8em] &= \frac{1}{2\sqrt{x + 1}} \end{align*}\]
Damit ergibt sich die Tangentensteigung zu:
Anwendung der Differetialrechnung:
Steigung \(m_{T}\) einer Tangente \(T\) an den Graphen einer Funktion \(f\) im Punkt \(P\,(\,x_0\,|\,f(x_0)\,)\)
\[m_{T} = f'(x_0)\]
(vgl. Merkhilfe)
\[m = g'(8) = \frac{1}{2\sqrt{8 + 1}} = \frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6}\]
\[\Longrightarrow \quad T \colon y = \frac{1}{6}x + t\]
\(y\)-Achsenabschnitt \(t\) berechnen:
Hierfür werden die Koordinaten des Punktes \((8|1)\) in die Gleichung der Tangente \(T\) eingesetzt und diese nach \(t\) aufgelöst.
\[\begin{align*} (8|1) \in T \colon 1 &= \frac{1}{6} \cdot 8 + t \\[0.8em] 1 &= \frac{4}{3} + t &&| -\frac{4}{3} \\[0.8em] -\frac{1}{3} &= t \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad T \colon y = \frac{1}{6}x - \frac{1}{3}\]
