Bestimmen Sie die Anzahl der Abonnenten, die man mindestens zufällig auswählen müsste, damit unter ihnen mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99 % mindestens eine Person älter als 40 Jahre ist.
(4 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1c
Eine klassische „3-Mindestens-Aufgabe" in der Variante „Mindestens 1 Treffer"
„Bestimmen Sie die Anzahl der Abonnenten, die man mindestens zufällig auswählen müsste, damit unter ihnen mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99 % mindestens eine Person älter als 40 Jahre ist."
\(X\): Anzahl der Personen, die älter als 40 Jahre sind, unter \(\textcolor{#0087c1}{n}\) ausgewählten Abonnenten.
Die Zufallsgröße \(X\) ist nach \(B(\textcolor{#0087c1}{n};\textcolor{#cc071e}{0{,}3})\) binomialverteilt (vgl. Teilaufgabe 1a, \(P(\overline{A}) = 0{,}3\)).
Betrachten des Gegenereignisses (mindestens 1 Treffer)
Wahrscheinlichkeitsberechnungen einer binomialverteilten Zufallsgröße \(X\) der Form „mindestens 1 Treffer" \(P(X \geq 1)\) vereinfachen sich durch die Betrachtung des Gegenereignisses „nicht 0 Treffer":
\[P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)\]
\[\begin{align*} P_{\textcolor{#cc071e}{0{,}3}}^{\textcolor{#0087c1}{n}}(\textcolor{#e9b509}{X \geq 1}) &\textcolor{#89ba17}{\geq} \textcolor{#89ba17}{0{,}99} &&| \; \text{Gegenereignis betrachten} \\[0.8em] 1 - P_{0{,}3}^n(X = 0) &\geq 0{,}99 &&| - 1 \\[0.8em] -P_{0{,}3}^n(X = 0) &\geq -0{,}01 &&| \textcolor{#cc071e}{\cdot (-1)\; \text{Relationszeichen dreht sich!}} \\[0.8em] P_{0{,}3}^n(X = 0) &\textcolor{#cc071e}{\leq} 0{,}01 &&| \; P_{0{,}3}^n(X = 0)\; \text{ausformulieren} \\[0.8em] \binom{n}{0} \cdot 0{,}3^0 \cdot (1-0{,}3)^{n\,-\,0} &\leq 0{,}01 &&|\; \binom{n}{0} = 1; \; a^0 = 1 \\[0.8em] 0{,}7^n &\leq 0{,}01 &&| \; \ln\; \text{(Logarithmieren)} \\[0.8em] \ln{0{,}7^n} &\leq \ln{0{,}01} &&| \; \log_a{(b^r)} = r \cdot \log_a{b}\; \text{(vgl. Merkhilfe)} \\[0.8em] n \cdot \ln{0{,}7} &\leq \ln{0{,}01} &&| \textcolor{#cc071e}{: \ln{0{,}7} < 0\;\text{Relationszeichen dreht sich!}} \\[0.8em] n &\textcolor{#cc071e}{\geq} \frac{\ln{0{,}01}}{\ln{0{,}7}} \\[0.8em] n &\geq 12{,}911\dots &&| \; n \in \mathbb N \; \text{(Anzahl der Personen ...)} \\[0.8em] \Rightarrow \; n &= 13 \end{align*}\]
Es müssen mindestens 13 Abonnenten ausgewählt werden.
