Bestimmen Sie Erwartungswert und Varianz der Zufallsgröße \(X\).
(Ergebnis: \(E(X) = 2\), \(Var(X) = \frac{6}{11}\))
(3 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 3b
Zufallsgröße \(X\,\colon\;\)Anzahl der weiblichen Ausschussmitglieder der Partei A
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße \(X\) ist aus Teilaufgabe 3a bekannt.
| \(\displaystyle x_i\) | \(\displaystyle 0\) | \(\displaystyle 1\) | \(\displaystyle 2\) | \(\displaystyle 3\) |
| \(\displaystyle P(X = x_i)\) | \(\displaystyle \frac{1}{55}\) | \(\displaystyle \frac{12}{55}\) | \(\displaystyle \frac{28}{55}\) | \(\displaystyle \frac{14}{55}\) |
Ewartungswert der Zufallsgrüße \(X\)
Ist \(X\) eine Zufallsgröße, deren mögliche Werte \(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}\) sind, dann gilt:
Erwartungswert \(\boldsymbol{\mu}\) der Zufallsgröße \(\boldsymbol{X}\) (vgl. Merkhilfe)
\[\begin{align*}\mu = E(X) &= \sum \limits_{i = 1}^{n} x_{i} \cdot p_{i} \\[0.8em] &= x_{1} \cdot p_{1} + x_{2} \cdot p_{2} \,+\, ... \,+\, x_{n} \cdot p_{n} \end{align*}\]
Der Erwartungswert \(\boldsymbol{\mu}\) einer Zufallsgröße \(X\) gibt den Mittelwert der Zufallsgröße an, der bei oftmaliger Wiederholung eines Zufallsexperiments zu erwarten ist.
\[\mu = E(X) = 0 \cdot \frac{1}{55} + 1 \cdot \frac{12}{55} + 2 \cdot \frac{28}{55} + 3 \cdot \frac{15}{55} = \frac{110}{55} = 2\]
Varianz der Zufallsgröße \(X\)
Ist \(X\) eine Zufallsgröße, deren mögliche Werte \(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}\) sind, dann gilt:
Varianz \(\boldsymbol{Var(X)}\) der Zufallsgröße \(\boldsymbol{X}\)
\[\begin{align*}Var(X) \enspace = \quad &\sum \limits_{i\;=\;1}^{n} (x_{i} - \mu)^{2} \cdot P(X = x_{i}) \\[0.8em] \enspace = \quad &(x_{1} - \mu)^{2} \cdot P(X = x_{1}) + (x_{2} - \mu)^{2} \cdot P(X = x_{2}) + \dots \\[0.8em] + \; &(x_n - \mu)^2 \cdot P(X = x_n)\end{align*}\]
Die Varianz \(\boldsymbol{Var(X)}\) einer Zufallsgröße \(X\) ist eine Maßzahl für die Streuung der Werte \(x_{i}\) der Zufallsgröße um den Erwartungswert \(\mu\).
\[\begin{align*}Var(X) &= (0 - 2)^2 \cdot \frac{1}{55} + (1 - 2)^2 \cdot \frac{12}{55} + (2 - 2)^2 \cdot \frac{28}{55} + (3 - 2)^2 \cdot \frac{14}{55} \\[0.8em] &= \frac{4}{55} + \frac{12}{55} + \frac{14}{55} = \frac{30}{55} = \frac{6}{11} \end{align*}\]
