Abiturlösungen Mathematik Bayern 2019

Aufgaben mit ausführlichen Lösungen

Beschreiben Sie, wie \(G_{f}\) schrittweise aus dem Graphen der in \(\mathbb R^{+}\) definierten Funktion \(x \mapsto \ln{x}\) hervorgeht. Erklären Sie damit das Monotonieverhalten von \(G_{f}\).

(5 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1c

 

\[f(x) = 2 - \ln{(x - 1)}; \; D_{f} = \; ]1;+\infty[\]

\[x \mapsto \ln{x}\]

 

Beschreibung, wie \(G_{f}\) schrittweise aus dem Graphen der in \(\mathbb R^{+}\) definierten Funktion \(x \mapsto \ln{x}\) hervorgeht

Beispielsweise lautet eine schrittweise Beschreibung wie folgt:

 

1. Schritt: Spiegelung an der \(x\)-Achse

Spiegeln von Funktionsgraphen

Spiegeln von Funktionsgraphen

Spiegelung an der \(x\)-Achse: \(g(x) = -f(x)\)

Spiegelung an der \(y\)-Achse: \(h(x) = f(-x)\)

\[\Longrightarrow \quad x \mapsto -\ln{x}\]

 

2. Schritt: Verschiebung um \(1\) in \(x\)-Richtung

Verschieben von Funktionsgraphen

Verschieben von Funktionsgraphen

\[g(x) = f(x +a) + b\]

Verschiebung in \(x\)-Richtung um \(-a\), Verschiebung in \(y\)-Richtung um \(b\)

\[\Longrightarrow \quad x \mapsto -\ln{(x - 1)}\]

 

3. Schritt: Verschiebung um \(2\) in \(y\)-Richtung

Verschieben von Funktionsgraphen

Verschieben von Funktionsgraphen

\[g(x) = f(x +a) + b\]

Verschiebung in \(x\)-Richtung um \(-a\), Verschiebung in \(y\)-Richtung um \(b\)

\[\Longrightarrow \quad x \mapsto -\ln{(x - 1)} + 2\]

 

Und somit: \(f(x) = 2 - \ln{(x - 1)}\)

 

Erklärung des Monotonieverhaltens von \(G_{f}\)

Entstehung des Graphen der Funktion f aus dem Graphen der Funktion x ↦ ln x

Der Graph der Funktion \(x \mapsto \ln{x}\) ist in \(\mathbb R^{+}\) streng monoton steigend.
Durch die Spiegelung an der \(x\)-Achse ist \(G_{f}\) in \(D_{f}\) streng monoton fallend. Die Verschiebungen haben keinen Einfluss auf das Monotonieverhalten von \(G_{f}\).