Ermitteln Sie, wie groß der Anteil der gelben Gummibärchen in der Produktion mindestens sein muss, damit in einer zufällig ausgewählten Tüte mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95 % mindestens ein gelbes Gummibärchen ist.
(4 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 2c
Es wird angenommen, dass sich die Aufgabenstellung mit der Binomialverteilung modellieren lässt (Bitte Anmerkung beachten).
\(n = 50\) (Anzahl der Gummibärchen pro Tüte)
Gesucht ist die Trefferwahrscheinlichkeit \(\textcolor{#e0b509}{p}\) für das Ereignis „Ein gelbes Gummibärchen ist in einer Tüte."
Es sei \(X\) die Zufallsgröße, welche die Anzahl der gelben Gummibärchen in einer Tüte beschreibt.
Die Zufallsgröße \(X\) ist nach \(B(50;\textcolor{#e9b509}{p})\) binomialverteilt (vgl. Anmerkung).
Betrachten des Gegenereignisses (mindestens 1 Treffer)
Wahrscheinlichkeitsberechnungen einer binomialverteilten Zufallsgröße \(X\) der Form „mindestens 1 Treffer" \(P(X \geq 1)\) vereinfachen sich durch die Betrachtung des Gegenereignisses „nicht 0 Treffer":
\[P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)\]
Formel von Bernoulli
Wahrscheinlichkeit für genau \(k\) Treffer bei einer Bernoullikette der Länge \(n\) und der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) für das Eintreten eines betrachteten Ereignisses:
\[P(X = k) = B(n;p;k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}\]
\[k \in \{0,1,\dots,n\}\]
\[\begin{align*}P_{\textcolor{#e9b509}{p}}^{50}(X \geq 1) &\geq 0{,}95 &&| \;\text{Gegenereignis betrachten} \\[0.8em] 1 - P_{p}^{50}(X = 0) &\geq 0{,}95 &&| - 1 \\[0.8em] -P_{p}^{50}(X = 0) &\geq - 0{,}05 &&| \cdot (-1)\; \textcolor{#cc071e}{\text{Relationszeichen dreht!}} \\[0.8em] \textcolor{#0087c1}{P_{p}^{50}(X = 0)} &\textcolor{#cc071e}{\leq} 0{,}05 &&|\; \textcolor{#0087c1}{P_{p}^{50}(X = 0)\;\text{ausformulieren}} \\[0.8em] \textcolor{#0087c1}{\binom{n}{0} \cdot p^{0} \cdot (1 - p)^{50 - 0}} &\leq 0{,}05 &&| \; \binom{n}{0} = 1; \; a^{0} = 1 \\[0.8em] (1 - p)^{50} &\leq 0{,}05 &&|\;\sqrt[50]{\phantom{xx}} \\[0.8em] 1 - p &\leq \sqrt[50]{0{,}05} &&| + p - \sqrt[50]{0{,}05} \\[0.8em] 1 - \sqrt[50]{0{,}05} &\leq p \\[0.8em] 0{,}05815... &\leq p \\[0.8em] \Rightarrow \enspace p &= 0{,}06 = 6\,\%\end{align*}\]
Damit in einer zufällig ausgewählten Tüte mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95 % mindestens ein gelbes Gummibärchen ist, muss der Anteil der gelben Gummibärchen mindestens 6 % betragen.
Die Formulierung „... werden ... in großen Behältern gemischt" (vgl. Angabe Aufgabe 2) soll assoziieren, dass das Abfüllen von jeweils 50 Gummibärchen aus einer großen Anzahl verschiedenfarbiger Gummibärchen erfolgt, und sich die beschriebene Aufgabenstellung deshalb mit der Binomialverteilung modellieren lässt.
Nun muss sich in einem „großen Behälter" aber nicht zwangsläufig eine große Anzahl an Gummibärchen befinden, weshalb unter anderem diese Aufgabe im Rahmen der Petition zum Mathematik Abitur Bayern 2021 bzw. der Analyse der Prüfungsaufgaben in die Kritik geraten ist.
Die Formulierung „... werden ... in Behältern in großer Stückzahl gemischt" würde dagegen eindeutig eine Modellierung mit der Binomialverteilung begründen.
