Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto 2x \cdot e^{-0{,}5x^2}\). Abbildung 2 zeigt den Graphen \(G_f\) von \(f\).
Abb. 2
Weisen Sie nach, dass \(G_f\) punktsymmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist, und machen Sie anhand des Funktionsterms von \(f\) plausibel, dass \(\lim \limits_{x \, \to \, + \infty} f(x) = 0\) gilt.
(2 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1a
\[f(x) = 2x \cdot e^{-0{,}5x^2}\,; \quad D = \mathbb R\]
Nachweis der Punktsymmetrie von \(G_f\)
Symmetrie von Funktionsgraphen bzgl. des Koordinatensystems
Der Graph einer Funktion \(f\) ist
achsensymmetrisch bzgl. der \(\boldsymbol{y}\)-Achse,
wenn für alle \(x \in D_f\) gilt: \(f(-x) = f(x)\).
punktsymmetrisch bzgl. des Koordinatenursprungs,
wenn für alle \(x \in D_f\) gilt: \(f(-x) = -f(x)\)
\[f(-x) = 2 \cdot (-x) \cdot e^{-0{,}5 \cdot (-x)^2} = -2x \cdot e^{-0{,}5x^2} = -f(x)\]
\(\Longrightarrow \quad G_f\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
Nachweis, dass \(\lim \limits_{x \, \to \, + \infty} f(x) = 0\) gilt
\[f(x) = 2x \cdot e^{-0{,}5x^2}\]
\[\lim \limits_{x \, \to \, + \infty} f(x) = \lim \limits_{x \, \to \, + \infty} \enspace \underset{\to \, + \infty}{2x} \cdot \; \underbrace{e^{-0{,}5x^2}}_{\to \, 0}\]
Die Grenzwertbetrachtung führt auf den unbestimmten Ausdruck \(\infty \cdot 0\).
1. Lösungsansatz: Wichtiger Grenzwert (siehe Merkhilfe)
Wichtiger Grenzwert
\[\lim \limits_{x \, \to \, +\infty} \frac{x^r}{e^x} = 0 \enspace (r > 0)\]
Für \(\,x \to +\infty\,\) wächst \(e^x\) „schneller" als jede Potenz \(x^r \enspace (r > 0)\).
(vgl. Merkhilfe)
\[\lim \limits_{x \, \to \, + \infty} 2x \cdot e^{-0{,}5x^2} = \lim \limits_{x \, \to \, + \infty} 2 \cdot \frac{x}{e^{0{,}5x^2}} = 0\]
Für \(x \to + \infty\) wächst \(\displaystyle e^{0{,}5x^2}\) schneller als \(x\).
2. Lösungsansatz: Regel von L'Hospital anwenden
Regel von L'Hospital
Führt der Grenzwert \(\,\displaystyle \lim \limits_{x\,\to\,x_0} \frac{f(x)}{g(x)}\,\) auf den unbestimmten Ausdruck \(\displaystyle \,\frac{0}{0}\,\) oder \(\displaystyle \,\frac{\infty}{\infty}\,\),
und existiert der Grenzwert \(\displaystyle \,\lim \limits_{x\,\to\,x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)}\,\), so gilt:
\[\lim \limits_{x\,\to\,x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \limits_{x\,\to\,x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)}\]
Die Regel kann anstelle \(\,x \to x_0\,\) auch für \(\,x \to \infty\,\) oder \(\,x \to -\infty\,\) angewendet werden.
\[f(x) = 2x \cdot e^{-0{,}5x^2} = \frac{2x}{e^{0{,}5x^2}}\]
\[\lim \limits_{x \, \to \, + \infty} f(x) = \lim \limits_{x \, \to \, + \infty} \; \frac{\overset{\to \, + \infty}{2x}}{\underbrace{e^{0{,}5x^2}}_{\to \, + \infty }}\]
Der Grenzwert führt auf den unbestimmten Ausdruck \(\displaystyle \frac{\infty}{\infty}\).
Ableitung des Zählerterms und des Nennerterms bestimmen:
Ableitung einer Potenzfunktion
\[ f(x) = x^r \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = rx^{r - 1} \quad (r \in \mathbb R)\]
Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion
\[ f(x) = e^x \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = e^x\]
Kettenregel
\[ f(x) = u(v(x)) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x) \]
(vgl. Merkhilfe)
\[(2x)' = 2\]
\[\left( e^{0{,}5x^2} \right)' = e^{0{,}5x^2} \cdot 0{,}5 \cdot 2 x = x \cdot e^{0{,}5x^2}\]
Regel von L'Hospital anwenden:
Regel von L'Hospital
Führt der Grenzwert \(\,\displaystyle \lim \limits_{x\,\to\,x_0} \frac{f(x)}{g(x)}\,\) auf den unbestimmten Ausdruck \(\displaystyle \,\frac{0}{0}\,\) oder \(\displaystyle \,\frac{\infty}{\infty}\,\),
und existiert der Grenzwert \(\displaystyle \,\lim \limits_{x\,\to\,x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)}\,\), so gilt:
\[\lim \limits_{x\,\to\,x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \limits_{x\,\to\,x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)}\]
Die Regel kann anstelle \(\,x \to x_0\,\) auch für \(\,x \to \infty\,\) oder \(\,x \to -\infty\,\) angewendet werden.
\[\lim \limits_{x \, \to \, + \infty} f(x) = \lim \limits_{x \, \to \, + \infty} \; \frac{2x}{e^{0{,}5x^2}} = \lim \limits_{x \, \to \, + \infty} \; \frac{2}{\underbrace{x \cdot e^{0{,}5x^2}}_{\to \, + \infty}} = 0\]
Anmerkung:
Die Regel von L'Hospital ist nicht im G8 Mathematik Lehrplan enthalten. Erfahrungsgemäß wird diese aber des Öfteren optional unterrichtet, um Grenzwertbetrachtungen von unbestimmten Ausdrücken der Form \(\dfrac{0}{0}\) oder \(\dfrac{\infty}{\infty}\) zu vertiefen.
