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Aufgabe 3b Stochastik 2 Teil B 2021 - Abiturlösungen

Abiturlösungen Mathematik Bayern 2021

Aufgaben mit ausführlichen Lösungen

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit \(P_{\overline{V}}(R)\).

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 3b

 

Mithilfe des Baumdiagramms aus Teilaufgabe 3a ergibt sich:

Baumdiagramm der Ereignisse V und R mit den Eintragungen der relevanten Wahrscheinlichkeiten

Baumdiagramm mit den Eintragungen der relevanten Wahrscheinlichkeiten (vgl. Teilaufgabe 3a)

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses \(B\) unter der Voraussetzung oder der Bedingung, dass das Ereignis \(A\) bereits eingetreten ist, heißt bedingte Wahrscheinlichkeit von \(\boldsymbol{B}\) unter der Bedingung \(\boldsymbol{A}\) und wird durch die Schreibweise \(P_{A}(B)\) gekennzeichnet.

Es gilt: \(P_{A}(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} \quad (P(A) \neq 0)\)

(vgl. Merkhilfe)

\[\begin{align*}\textcolor{#e9b509}{P_{\overline{V}}(R)} &= 1 - \textcolor{#0087c1}{P_{\overline{V}}(\overline{R})} \\[0.8em] &= 1 - \frac{\textcolor{#0087c1}{P(\overline{V}\cap\overline{R})}}{\textcolor{#0087c1}{P(\overline{V})}} \\[0.8em] &= 1 - \frac{\textcolor{#0087c1}{0{}63}}{\textcolor{#0087c1}{0{,}75}} \\[0.8em] &= \textcolor{#e9b509}{0{,}16}\end{align*}\]

 

Oder mithilfe der Vierfeldertafel aus Teilaufgabe 3a:

 

  \(V\) \(\overline{V}\)  
\(R\) \(0{,}105\) \(0{,}12\)  
\(\overline{R}\) \(0{,}145\) \(\textcolor{#0087c1}{0{,}63}\) \(0{,}775\)
  \(\textcolor{#0087c1}{0{,}25}\) \(\textcolor{#0087c1}{0{,}75}\) \(1\)

 

\[P(\overline{V}\cap R) = \textcolor{#0087c1}{P(\overline{V})} - \textcolor{#0087c1}{P(\overline{V}\cap \overline{R})} = \textcolor{#0087c1}{0{,}75} - \textcolor{#0087c1}{0{,}63} = 0{,}12\]

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses \(B\) unter der Voraussetzung oder der Bedingung, dass das Ereignis \(A\) bereits eingetreten ist, heißt bedingte Wahrscheinlichkeit von \(\boldsymbol{B}\) unter der Bedingung \(\boldsymbol{A}\) und wird durch die Schreibweise \(P_{A}(B)\) gekennzeichnet.

Es gilt: \(P_{A}(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} \quad (P(A) \neq 0)\)

(vgl. Merkhilfe)

\[P_{\overline{V}}(R) = \frac{P(\overline{V}\cap R)}{\textcolor{#0087c1}{P(\overline{V})}} = \frac{0{,}12}{\textcolor{#0087c1}{0{,}75}} = 0{,}16\]