Ein Wagen der Achterbahn durchfährt den Abschnitt, der im Modell durch die Strecke \([AB]\) und den Viertelkreis von \(B\) nach \(C\) dargestellt wird, mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von 15 \(\sf{\frac{m}{s}}\). Berechnen Sie die Zeit, die der Wagen dafür benötigt, auf Zehntelsekunden genau, wenn eine Längeneinheit im Koordinatensystem 10 m in der Realität entspricht. 

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe e

Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit

Strecke \([AB]\), die im Modell den geraden Abschnitt beschreibt und Bogenlänge \(b\) des Viertelkreises, der im Modell die Rechtskurve darstellt.

Für eine Bewegung mit durchschnittlicher (konstanter) Geschwindigkeit \(v\) gilt: \(\displaystyle v = \frac{s}{t}\). Dabei ist \(s\) der zurückgelegte Weg und \(t\) die benötigte Zeit.

\[v = \frac{s}{t} \quad \Longleftrightarrow \quad t = \frac{s}{v}\]

Länge des Weges \(s\) von \(A\) nach \(C\) berechnen:

\(A\,(0|\sqrt{2}|2)\,, \enspace B\,(-1|2\sqrt{2}|3)\,, \enspace r = 2\) (siehe Teilaufgabe a,c)

\[\begin{align*} s &= \overline{AB} + b \\[0.8em] &= \vert \overrightarrow{AB} \vert + \frac{1}{4} \cdot 2r\pi \\[0.8em] &= \vert \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} \vert + \frac{1}{2} \cdot r\pi \\[0.8em] &= \left| \begin{pmatrix} -1 \\ 2\sqrt{2} \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ \sqrt{2} \\ 2 \end{pmatrix} \right| + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \pi \\[0.8em] &= \left| \begin{pmatrix} -1 \\ \sqrt{2} \\ 1 \end{pmatrix} \right| + \pi \\[0.8em] &= \sqrt{(-1)^{2} + (\sqrt{2})^{2} + 1^{2}} + \pi \\[0.8em] &= \sqrt{4} + \pi \\[0.8em] &= 2 + \pi \\[0.8em] &\approx 5{,}142 \end{align*}\]

Zeit \(t\) berechnen, die der Wagen für den Weg \(s\) benötigt:

\[v = 15\;\sf{\frac{m}{s}}\]

\[s = (2 + \pi)\;\sf{LE}\,, \enspace 1\; \sf{LE} \mathrel{\hat=} 10 \; \sf{m}\]

\[t = \frac{s}{v} = \frac{[(2 + \pi) \cdot 10]\;\sf{m}}{15\;\sf{\frac{m}{s}}} \approx 3{,}4\;\sf{s} \]