Das Saarpolygon wird mit verschiedenen Blickrichtungen betrachtet. Die Abbildungen 3 und 4 stellen das Saarpolygon für zwei Blickrichtungen schematisch dar.

 

Abbildung 3 Geometrie 2 Prüfungsteil B Mathematik Abitur Bayern 2022Abb. 3

Abbildung 4 Geometrie 2 Prüfungsteil B Mathematik Abitur Bayern 2022Abb. 4

 

Geben Sie zu jeder der beiden Abbildungen 3 und 4 einen möglichen Vektor an, der die zugehörige Blickrichtung beschreibet. Stellen Sie das Saarpolygon schematisch für eine Betrachtung von oben dar.

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe f

 

Mögliche Vektoren

zu Abb. 3 sind z.B.: \(\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\) oder \(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\)

zu Abb. 4 sind z.B.: \(\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\) oder \(\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\)

Schematische Darstellung für eine Betrachtung von oben:

Betrachtung des Saarpolygons im Modell von oben
Betrachtung des Saarpolygons im Modell von oben

 

Ausführliche Beschreibung (nicht verlangt)

Möglicher Vektor, der die zugehörige Blickrichtung zu Abbildung 3 beschreibt

 

Abbildung 3 Geometrie 2 Prüfungsteil B Mathematik Abitur Bayern 2022Abb. 3

Abbildung 3 zeigt, dass sich die Strecken \([AB]\) und \([CD]\) aus der zugehörigen Blickrichtung mittig kreuzen.

 

Veranschaulichung der Blickrichtung zu Abbildung 3, mögliche Vektoren

Die in Abbildung 3 gezeigte Ansicht entsteht, wenn der Blick frontal auf eine der Seitenflächen des Quaders gerichtet ist, welche die Diagonale \([AB]\) bzw. \([CD]\) enthält.

Ein Vektor, der die zugehörige Blickrichtung zu Abbildung 3 beschreibt, muss deshalb in Richtung der positiven oder negativen \(x_2\)-Achse zeigen.

Im einfachsten Fall kommen hierfür die Vektoren \(\textcolor{#cc071e}{\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}}\) oder \(\textcolor{#cc071e}{\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}}\) in Frage (schematische Darstellung).

 

Möglicher Vektor, der die zugehörige Blickrichtung zu Abbildung 4 beschreibt

 

Abbildung 4 Geometrie 2 Prüfungsteil B Mathematik Abitur Bayern 2022Abb. 4

In Abbildung 4 ist die Strecke \([BC]\) aus der zugehörigen Blickrichtung nicht zu erkennen.

 

Veranschaulichung der Blickrichtung zu Abbildung 4, mögliche Vektoren

Die in Abbildung 4 gezeigte Ansicht entsteht, wenn der Blick in Richtung der Strecke \([BC]\) gerichtet ist.

Ein Vektor, der die zugehörige Blickrichtung zu Abbildung 4 beschreibt, muss analog zu den \(x_1\)- und \(x_2\)-Koordinaten von \(B(\textcolor{#cc071e}{-11}|\textcolor{#cc071e}{11}|28)\) und \(C(\textcolor{#cc071e}{11}|\textcolor{#cc071e}{-11}|28)\) in Richtung der Winkelhalbierenden zwischen der positiven \(x_1\)-Achse und der negativen \(x_2\)-Achse bzw. zwischen der negativen \(x_1\)-Achse und der positiven \(x_2\)-Achse zeigen (vgl. Abbildung 2).

Im einfachsten Fall kommen hierfür die Vektoren \(\textcolor{#cc071e}{\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}}\) oder \(\textcolor{#cc071e}{\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}}\) in Frage (schematische Darstellung).

 

Schematische Darstellung des Saarpolygons für eine Betrachtung von oben

 

Ein Blick von oben projiziert die Punkte B und C in die x₁x₂-Ebene.

Schematische Darstellung des Saarpolygons von oben (x₁-Achse horizontal, x₂-Achse vertikal)

Schematische Darstellung des Saarpolygons von oben (x₁-Achse vertikal, x₂-Achse horizontal)

Ein Blick von oben projiziert die Punkte \(B\) und \(C\) in die \(x_1x_2\)-Ebene. Je nach Anordnung der \(x_1\)- und \(x_2\)-Achse ergibt die schematische Betrachtung von oben ein spiegelverkehrtes (liegendes) Z.