Abiturlösungen Mathematik Bayern Beispiel-Abiturprüfung 2014 Prüfungsteil B Geometrie 1
Abiturlösungen Mathematik Bayern Beispiel-Abiturprüfung 2014 Prüfungsteil B Geometrie 1
Eine flache Landschaft, in der sich ein Flughafen befindet, lässt sich modellhaft durch die \(x_1x_2\)-Ebene eines kartesischen Koordinatensystems beschreiben. Die \(x_1\)-Achse zeigt in Richtung Osten, die \(x_2\)-Achse in Richtung Norden; eine Längeneinheit im Modell entspricht 1 km in der Landschaft.
Ein Flugzeug \(F_1\) steigt unmittelbar nach dem Abheben von der Startbahn geradlinig auf - im Modell vom Punkt \(P\,(-10|0|0)\) aus entlang der Geraden
\(\displaystyle g_1\,\colon\, \overrightarrow{X} = \overrightarrow{P} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix}, \enspace \lambda \in \mathbb R\,\).
Die Flugbahn eines Flugzeugs \(F_2\) verläuft im Modell entlang der Geraden
\(g_2\,\colon\, \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 40 \\ 50 \\ 10 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 10 \\ -10 \\ 0 \end{pmatrix}, \enspace \mu \in \mathbb R\,\).
Geben Sie die Himmelsrichtung an, in der \(F_1\) fliegt, und begründen Sie, dass \(F_2\) eine konstante Flughöhe hält.
(3 BE)
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Berechnen Sie die Größe des Steigungswinkels der Flugbahn von \(F_1\) gegen die Horizontale.
(4 BE)
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Bestätigen Sie rechnerisch, dass sich die Flugbahnen der beiden Flugzeuge senkrecht schneiden. Begründen Sie, dass die Flugzeuge dennoch - auch bei unveränderten Flugbahnen - nicht zwingend kollidieren.
(5 BE)
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Der Richtungsvektor von \(g_2\) beschreibt im Modell die konstante Geschwindigkeit des Flugzeugs \(F_2\) in \(\frac{\sf{km}}{\sf{min}}\). Geben Sie die physikalische Bedeutung des Parameters \(\mu\) an.
(2 BE)
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Eine Radarstation, deren Position im Modell durch den Punkt \(R\,(20|30|0)\) veranschaulicht wird, erfasst alle Objekte im Luftraum bis zu einer Entfernung von 50 km. Berechnen Sie die Länge der Flugstrecke von \(F_2\) in dem vom Radar erfassten Bereich.
(6 BE)
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2023 Christian Rieger・mathelike
