Geben Sie einen Term einer gebrochen-rationalen Funktion an, die die folgenden Eigenschaften hat: Die Funktion \(h\) ist in \(\mathbb R\) definiert; ihr Graph besitzt die Gerade mit der Gleichung \(y = 3\) als waagrechte Asymptote und schneidet die \(y\)-Achse im Punkt \((0|4)\).
(3 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1b
Mögliche Funktionsterme von \(h\) sind beispielsweise:
\(h(x) = \dfrac{3x^2 + 4}{x^2 + 1}\quad\) oder \(\quad h(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1} + 3\)
Ausführliche Erklärung (nicht verlangt)
Gesucht ist ein Funktionsterm einer gebrochenrationalen Funktion \(h\),
- (I) die in \(\textcolor{#e9b509}{\mathbb R}\) definiert ist und
- (II) deren Graph die waagrechte Asymptote mit der Gleichung \(\textcolor{#0087c1}{y = 3}\) besitzt und
- (III) die \(\textcolor{#cc071e}{y}\)-Achse im Punkt \(\textcolor{#cc071e}{(0|4)}\) schneidet.
Vorüberlegungen:
Eine gebrochenrationale Funktion ist in \(\textcolor{#e9b509}{\mathbb R}\) definiert, wenn sie keine Nennernullstelle(n) hat.
Waagrechte (und schräge) Asymptoten bestimmen das Verhalten des Graphen einer gebrochenrationalen Funktion im Unendlichen. Deshalb muss in diesem Fall \(\textcolor{#0087c1}{\lim \limits_{x\,\to\,-\infty} h(x) = 3}\) bzw. \(\textcolor{#0087c1}{\lim \limits_{x\,\to\,+\infty} h(x) = 3}\) gelten, damit der Graph von \(h\) eine waagrechte Asymptote mit der Gleichung \(\textcolor{#0087c1}{y = 3}\) besitzt.
Damit der Graph von \(h\) die \(\textcolor{#cc071e}{y}\)-Achse im Punkt \(\textcolor{#cc071e}{(0|4)}\) schneidet, muss \(\textcolor{#cc071e}{h(0)} = \textcolor{#cc071e}{4}\) gelten.
1. Möglichkeit: Ansatz der Form \(h(x) = \dfrac{z(x)}{n(x)}\)
Dabei ist \(z(x)\) eine ganzrationale Zählerfunktion und \(n(x)\) eine ganzrationale Nennerfunktion der gebrochenrationalen Funktion \(h\).
Bedingung (I)
\(h\) ist in \(\textcolor{#e9b509}{\mathbb R}\) definiert.
Ein möglichst einfacher Nennerterm, der nicht den Wert null annehmen kann und somit Bedingung (I) erfüllt, ist \(\textcolor{#e9b509}{x^2 + 1}\).
\[\Rightarrow \enspace h(x) = \frac{z(x)}{\textcolor{#e9b509}{\underbrace{x^2 + 1}_{>\,0}}}; \; \textcolor{#e9b509}{D_h = \mathbb R}\]
Bedingung (II)
Der Graph von \(h\) besitzt die waagrechte Asymptote mit der Gleichung \(\textcolor{#0087c1}{y = 3}\).
Asymptoten gebrochenrationaler Funktionen
Eine Funktion \(f(x) = \dfrac{z(x)}{n(x)} = \dfrac{\textcolor{#cc071e}{a_{m}}x^{\textcolor{#cc071e}{m}} + a_{m - 1}x^{m - 1} + \dots + a_{1}x +a_{0}}{\textcolor{#0087c1}{b_{n}}x^{\textcolor{#0087c1}{n}} + b_{n - 1}x^{n - 1} + \dots + b_{1}x + b_{0}}\), die sich als Quotient zweier ganzrationaler Funktionen (Polynome) \(z(x)\) und \(n(x)\) darstellen lässt, heißt gebrochenrationale Funktion. Die Nullstellen des Nennerpolynoms \(n(x)\) können nicht in der Definitionsmenge \(D_{f}\) enthalten sein und werden als Definitionslücken bezeichnet.
Senkrechte Asymptoten
Wenn an einer Definitionslücke \(x_{0}\) einer gebrochenrationalen Funktion \(f\)
\(\begin{align*}\lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{-}}f(x) = +\infty \enspace &\text{oder} \enspace \lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{-}}f(x) = -\infty \\[0.8em] \text{und} \enspace \lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{+}}f(x) = +\infty \enspace &\text{oder} \enspace \lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{+}}f(x) = -\infty \end{align*}\)
gilt, so nennt man \(x_{0}\) eine Polstelle von \(f\) und die Gerade mit der Gleichung \(x = x_{0}\) ist senkrechte Asymptote des Graphen von \(f\).
Waagrechte und schräge Asymptoten
Der Graph einer gebrochenrationalen Funktion \(f\) hat für \(x \to - \infty\) bzw. \(x \to + \infty\) im Fall
| \(\textcolor{#cc071e}{m} < \textcolor{#0087c1}{n}\): | die \(x\)-Achse \((y = 0)\) als waagrechte Asymptote, |
| \(\textcolor{#cc071e}{m} = \textcolor{#0087c1}{n}\): | eine waagrechte Asymptote parallel zur \(\boldsymbol{x}\)-Achse mit der Gleichung \(y = \dfrac{\textcolor{#cc071e}{a_{m}}}{\textcolor{#0087c1}{b_{n}}}\), |
| \(\textcolor{#cc071e}{m} = \textcolor{#0087c1}{n} + 1\): | eine schräge Asymptote, |
| \(\textcolor{#cc071e}{m} > \textcolor{#0087c1}{n} + 1\): | keine waagrechte oder schräge Asymptote. |
Damit der Graph der gebrochenrationalen Funktion \(h\) eine waagrechte Asymptote mit der Gleichung \(\textcolor{#0087c1}{y = 3}\) besitzt, müssen die ganzrationalen Zähler- und Nennerfunktionen \(\textcolor{#0087c1}{z(x)}\) und \(\textcolor{#0087c1}{n(x)}\) vom selben Grad sein. Außerdem muss der Quotient der Koeffizienten der höchsten Potenzen von \(z(x)\) und \(n(x)\) den Wert 3 ergeben.
Unter Berücksichtigung von Bedingung (III) wird der Zählerterm einfach um eine additive Konstante \(c\) ergänzt.
\[\Rightarrow \enspace h(x) = \frac{\textcolor{#0087c1}{3 \cdot x^2} + c}{\textcolor{#0087c1}{1 \cdot x^2} + 1} = \frac{3x^2 + c}{x^2 + 1}; \; D_{h} = \mathbb R\]
Quotient der Koeffizienten der höchsten Potenzen von \(z(x)\) und \(n(x)\): \(\dfrac{\textcolor{#0087c1}{3}}{\textcolor{#0087c1}{1}} = \textcolor{#0087c1}{3}\)
Somit gilt:
\[\begin{align*}\textcolor{#0087c1}{\lim \limits_{x\,\to\,\pm\infty} h(x)} &= \lim \limits_{x\,\to\,\pm\infty} \frac{3x^2 + c}{x^2 + 1} \\[0.8em] &= \lim \limits_{x\,\to\,\pm\infty} \frac{\cancel{x^2} \cdot (\textcolor{#0087c1}{3} + \overbrace{\frac{c}{x^2}}^{\to\,0})}{\cancel{x^2} \cdot (\textcolor{#0087c1}{1} + \underbrace{\frac{1}{x^2}}_{\to\,0})} \\[0.8em] &= \frac{\textcolor{#0087c1}{3}}{\textcolor{#0087c1}{1}} = \textcolor{#0087c1}{3} \end{align*}\]
Damit besitzt der Graph von \(h\) für \(x \to \pm \infty\) die waagrechte Asymptote mit der Gleichung \(\textcolor{#0087c1}{y = 3}\).
Bedingung (III)
Der Graph von \(h\) schneidet die \(\textcolor{#cc071e}{y}\)-Achse im Punkt \(\textcolor{#cc071e}{(0|4)}\).
\[h(x) = \frac{3x^2 + \textcolor{#cc071e}{c}}{x^2 + 1}; \; D_{h} = \mathbb R\]
Es muss \(\textcolor{#cc071e}{h(0)} = \textcolor{#cc071e}{4}\) gelten:
\[\textcolor{#cc071e}{h(0)} = \textcolor{#cc071e}{4} \enspace \Leftrightarrow \enspace \frac{3 \cdot 0^2 + \textcolor{#cc071e}{c}}{0^2 + 1} = \textcolor{#cc071e}{4} \enspace \Rightarrow \enspace \textcolor{#cc071e}{c} = \textcolor{#cc071e}{4}\]
Also ist \(h(x) = \dfrac{3x^2 + 4}{x^2 + 1}\) ein möglicher Funktionsterm der gesuchten gebrochenrationalen Funktion \(h\).
2. Möglichkeit: Ansatz der Form \(h(x) = \dfrac{c}{n(x)} + 3\)
Dabei ist \(n(x)\) eine ganzrationale Nennerfunktion und \(c\) eine Konstante mit \(c \in \mathbb R\).
Bedingung (I)
\(h\) ist in \(\textcolor{#e9b509}{\mathbb R}\) definiert.
Ein möglichst einfacher Nennerterm, der nicht den Wert null annehmen kann und somit Bedingung (I) erfüllt, ist \(\textcolor{#e9b509}{x^2 + 1}\).
\[\Rightarrow \enspace h(x) = \frac{c}{\textcolor{#e9b509}{\underbrace{x^2 + 1}_{>\,0}}} + 3; \; \textcolor{#e9b509}{D_h = \mathbb R}\]
Bedingung (II)
Der Graph von \(h\) besitzt die waagrechte Asymptote mit der Gleichung \(\textcolor{#0087c1}{y = 3}\).
Asymptoten gebrochenrationaler Funktionen
Eine Funktion \(f(x) = \dfrac{z(x)}{n(x)} = \dfrac{\textcolor{#cc071e}{a_{m}}x^{\textcolor{#cc071e}{m}} + a_{m - 1}x^{m - 1} + \dots + a_{1}x +a_{0}}{\textcolor{#0087c1}{b_{n}}x^{\textcolor{#0087c1}{n}} + b_{n - 1}x^{n - 1} + \dots + b_{1}x + b_{0}}\), die sich als Quotient zweier ganzrationaler Funktionen (Polynome) \(z(x)\) und \(n(x)\) darstellen lässt, heißt gebrochenrationale Funktion. Die Nullstellen des Nennerpolynoms \(n(x)\) können nicht in der Definitionsmenge \(D_{f}\) enthalten sein und werden als Definitionslücken bezeichnet.
Senkrechte Asymptoten
Wenn an einer Definitionslücke \(x_{0}\) einer gebrochenrationalen Funktion \(f\)
\(\begin{align*}\lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{-}}f(x) = +\infty \enspace &\text{oder} \enspace \lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{-}}f(x) = -\infty \\[0.8em] \text{und} \enspace \lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{+}}f(x) = +\infty \enspace &\text{oder} \enspace \lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{+}}f(x) = -\infty \end{align*}\)
gilt, so nennt man \(x_{0}\) eine Polstelle von \(f\) und die Gerade mit der Gleichung \(x = x_{0}\) ist senkrechte Asymptote des Graphen von \(f\).
Waagrechte und schräge Asymptoten
Der Graph einer gebrochenrationalen Funktion \(f\) hat für \(x \to - \infty\) bzw. \(x \to + \infty\) im Fall
| \(\textcolor{#cc071e}{m} < \textcolor{#0087c1}{n}\): | die \(x\)-Achse \((y = 0)\) als waagrechte Asymptote, |
| \(\textcolor{#cc071e}{m} = \textcolor{#0087c1}{n}\): | eine waagrechte Asymptote parallel zur \(\boldsymbol{x}\)-Achse mit der Gleichung \(y = \dfrac{\textcolor{#cc071e}{a_{m}}}{\textcolor{#0087c1}{b_{n}}}\), |
| \(\textcolor{#cc071e}{m} = \textcolor{#0087c1}{n} + 1\): | eine schräge Asymptote, |
| \(\textcolor{#cc071e}{m} > \textcolor{#0087c1}{n} + 1\): | keine waagrechte oder schräge Asymptote. |
Es muss \(\textcolor{#0087c1}{\lim \limits_{x\,\to\,\pm \infty} h(x) = 3}\) gelten.
\[\textcolor{#0087c1}{\lim \limits_{x\,\to\,\pm\infty} h(x)} = \lim \limits_{x\,\to\,\pm\infty} \underbrace{\dfrac{c}{\textcolor{#e9b509}{\underbrace{x^2 + 1}_{\to\,+\infty}}}}_{\to\,0} + \textcolor{#0087c1}{3} = \textcolor{#0087c1}{3}\]
Der Ansatz \(h(x) = \dfrac{c}{x^2 + 1} + 3\) mit \(c \in \mathbb R\) erfüllt also Bedingung (II).
Bedingung (III)
Der Graph von \(h\) schneidet die \(\textcolor{#cc071e}{y}\)-Achse im Punkt \(\textcolor{#cc071e}{(0|4)}\).
\[h(x) = \frac{\textcolor{#cc071e}{c}}{x^2 + 1} + 3; \; D_h = \mathbb R\]
Es muss \(\textcolor{#cc071e}{h(0)} = \textcolor{#cc071e}{4}\) gelten:
\[\textcolor{#cc071e}{h(0)} = \textcolor{#cc071e}{4} \enspace \Leftrightarrow \enspace \frac{\textcolor{#cc071e}{c}}{0^2 + 1} + 3 = \textcolor{#cc071e}{4} \enspace \Rightarrow \enspace \textcolor{#cc071e}{c} = \textcolor{#cc071e}{1}\]
Also ist \(h(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1} + 3\) ein möglicher Funktionsterm der gesuchten gebrochenrationalen Funktion \(h\).
Anmerkung
Die Funktionsterme \(h(x) = \dfrac{3x^2 + 4}{x^2 + 1}\) und \(h(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1} + 3\) sind zueinander äquivalent.
\[\begin{align*}h(x) &= \frac{1}{x^2 + 1} + 3 \\[0.8em] &= \frac{1}{x^2 + 3} + \frac{3 \cdot (x^2 + 1)}{x^2 + 1} \\[0.8em] &= \frac{1 + 3x^2 + 3}{x^2 + 1} \\[0.8em] &= \frac{3x^2 + 4}{x^2 + 1}\end{align*}\]
