Geben Sie jeweils den Funktionsterm einer Funktion an, die folgende Eigenschaften besitzt:
- Die Funktion \(f\) besitzt die Wertemenge \([-2;2]\) und \(x = -\frac{\pi}{2}\) sowie \(x = \frac{\pi}{2}\) sind zwei Nullstellen von \(f\).
- Die Funktion \(g\) divergiert für \(x \to -\infty\) gegen \(+\infty\) und konvergiert für \(x \to +\infty\) gegen \(+3\).
- Der Graph der Funktion \(h\) ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Er besitzt die Nullstelle \(x = 2\) und es gilt: \(\lim \limits_{x\, \to\, -\infty}h(x) = +\infty\).
a) Funktionsterm von \(f\)
Eigenschaften:
\(W_f = [-2;2]\)
\(x = -\frac{\pi}{2}\) und \(x = \frac{\pi}{2}\) sind zwei Nullstellen von \(f\).
Beispielsweise ist \(f(x) = 2 \cdot \cos{x}\) ein möglicher Funktionsterm von \(f\).
Begründung (nicht verlangt)
Die vorgegebene Wertemenge \([-2;2]\) ist ein endliches, geschlossenes Intervall. Eine allgemeine Sinus- oder Kosinusfunktion hat eine solche Wertemenge.
Allgemeine Sinusfunktion
\[f(x) = a \cdot \sin\left(b(x + c)\right) + d\]
Allgemeine Kosinusfunktion
\[f(x) = a \cdot \cos\left(b(x + c)\right) + d\]
\[a,b,c,d \in \mathbb R; \enspace a,b \neq 0\]
Definitionsbereich: \(D = \mathbb R\)
Wertebereich: \(W = [-a;a]\) für \(d = 0\) und \(W= [d-a;d+a]\) für \(d \neq 0\)
Streckung mit \(a\) in \(y\)-Richtung
Streckung mit \( \dfrac{1}{b}\) in \(x\)-Richtung, Periode: \(p = \dfrac{2\pi}{\vert b \vert}\)
Verschiebung um \( -c\) in \(x\)-Richtung
Verschiebung um \(d\) in \(y\)-Richtung
Die Kosinusfunktion \(x \mapsto \cos{x}\) besitzt die Nullstellen \(x_k= \frac{\pi}{2} + k \cdot \pi\) mit \(k \in \mathbb Z\). Für \(k = -1\) und \(k = 0\) ergeben sich die genannten Nullstellen \(x = -\frac{\pi}{2}\) und \(x = \frac{\pi}{2}\).
Eigenschaften der Sinusfunktion \(\boldsymbol{x \mapsto \sin{x}}\) und der Kosinusfunktion \(\boldsymbol{x \mapsto \cos{x}}\)
| Eigenschaften | \(\textcolor{#0087c1}{f(x) = \sin{x}}\) | \(\textcolor{#cc071e}{f(x)=\cos{x}}\) |
| Definitionsmenge | \(D_f = \mathbb R\) | \(D_f = \mathbb R\) |
| Wertemenge | \(W_f = [-1;1]\) | \(W_f = [-1;1]\) |
| Periode | \(2\pi\) | \(2\pi\) |
| Symmetrieverhalten des Funktionsgraphen | punktsymmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs | achsensymmetrisch bezüglich der \(y\)-Achse |
| Nullstellen (\(k \in \mathbb Z\)) | \(\smash{x_k = k \cdot \pi} \vphantom{\dfrac{\pi}{2}}\) | \(x_k = \dfrac{\pi}{2} + k \cdot \pi\) |
| Relative Maxima (\(k \in \mathbb Z\)) | \(x_k = \dfrac{\pi}{2} + k \cdot 2\pi\) | \(\smash{x_k = k \cdot 2\pi} \vphantom{\dfrac{\pi}{2}}\) |
| Relative Minima (\(k \in \mathbb Z\)) | \(x_k = \dfrac{3}{2}\pi + k \cdot 2\pi\) | \(\smash{x_k = \pi + k \cdot 2\pi} \vphantom{\dfrac{\pi}{2}}\) |
Eine Streckung des Graphen der Kosinusfunktion in \(\textcolor{#cc071e}{y}\)-Richtung um den Faktor \(\textcolor{#cc071e}{2}\) verändert die Wertemenge \([-1;1]\) der Kosinusfunktion zu \([\textcolor{#cc071e}{-2};\textcolor{#cc071e}{2}]\) und hat keinen Einfluss auf die Lage der Nullstellen der Kosinusfunktion.
Wie verändern die Parameter \(a\), \(b\), \(c\) und \(d\) den Graphen einer Funktion \(x \mapsto a \cdot f(b \cdot (x + c)) + d\) gegenüber dem Graphen einer Funktion \(x \mapsto f(x)\)?
Erst strecken oder spiegeln, dann verschieben!
Ein Vertauschen der Reihenfolge von Strecken und Verschieben bzw. Spiegel und Verschieben ergibt unterschiedliche Graphen und Funktionsterme.
Strecken in \(\boldsymbol{y}\)-Richtung mit dem Faktor \(\textcolor{#e9b509}{\boldsymbol{a}}\)
\(g(x) = \textcolor{#e9b509}{a} \cdot f(x)\) mit \(a \in \mathbb R\)
\(a < 0\) bewirkt zusätzlich eine Spiegelung an der \(x\)-Achse.
Strecken in \(\boldsymbol{x}\)-Richtung mit dem Faktor \(\textcolor{#e9b509}{\boldsymbol{\dfrac{1}{b}}}\)
\(h(x) = f(\textcolor{#e9b509}{b} \cdot x)\) mit \(b \in \mathbb R\)
\(b < 0\) bewirkt zusätzlich eine Spiegelung an der \(y\)-Achse.
Verschieben in \(\boldsymbol{y}\)-Richtung um \(\textcolor{#e9b509}{\boldsymbol{d}}\)
\(k(x) = f(x) + \textcolor{#e9b509}{d}\) mit \(d \in \mathbb R\)
Verschieben in \(\boldsymbol{x}\)-Richtung um \(\textcolor{#e9b509}{\boldsymbol{-c}}\)
\(l(x) = f(x + \textcolor{#e9b509}{c})\) mit \(c \in \mathbb R\)
Spiegelung an der \(\boldsymbol{x}\)-Achse
\[g(x) = -f(x)\]
Spiegelung an der \(\boldsymbol{y}\)-Achse
\[h(x) = f(-x)\]
\[\Rightarrow \; f(x) = \textcolor{#cc071e}{2} \cdot \cos{x}\]
(Vgl. Mathematik Abiturskript Bayern G9 - 1 Analysis, 1.1.5 Trigonometrische Funktionen)
b) Funktionsterm von \(g\)
Eigenschaften:
\(\lim \limits_{x\,\to\,-\infty}g(x) = +\infty\) und \(\lim \limits_{x\,\to\,+\infty}g(x) = +3\)
Beispielsweise ist \(g(x) = 2^{-x} + 3\) ein möglicher Funktionsterm von \(g\).
Begründung (nicht verlangt)
Eine in \(\mathbb R\) definierte Exponentialfunktion \(x \mapsto a^x\) mit \(a \in \mathbb R^+ \backslash \{1\}\), beispielsweise \(x \mapsto 2^x\), konvergiert für \(x \to -\infty\) gegen \(0\) und divergiert für \(x \to +\infty\) gegen \(+\infty\).
\(\lim \limits_{x\,\to\,-\infty}2^x = 0\) und \(\lim \limits_{x\,\to\,+\infty}2^x = +\infty\)
Durch Spiegelung des Graphen von \(x \mapsto 2^x\) an der \(y\)-Achse, entsteht der Graph der Funktion \(x \mapsto \textcolor{#0087c1}{2^{-x}}\) mit umgekehrtem Grenzwertverhalten.
\(\lim \limits_{x\,\to\,-\infty}\textcolor{#0087c1}{2^{-x}} = +\infty\) und \(\lim \limits_{x\,\to\,+\infty}\textcolor{#0087c1}{2^{-x}} = 0\)
Schließlich bewirkt eine Verschiebung des Graphen von \(x \mapsto \textcolor{#0087c1}{2^{-x}}\) um 3 Längeneinheiten in positive \(y\)-Richtung, dass die entstehenden Funktion \(x \mapsto \textcolor{#cc071e}{2^{-x} + 3}\) für \(x \to +\infty\) gegen \(+3\) konvergiert.
\(\lim \limits_{x\,\to\,+\infty}\big(\underbrace{\textcolor{#cc071e}{2^{-x}}}_{\to\,0} \textcolor{#cc071e}{+ 3}\big) = +3\)
c) Funktionsterm von \(h\)
Eigenschaften:
Der Graph der Funktion \(h\) ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.
Er besitzt die Nullstelle \(x = 2\).
Es gilt: \(\lim \limits_{x\, \to\, -\infty}h(x) = +\infty\).
Beispielsweise ist \(h(x) = -x(x-2)(x+2)\) ein möglicher Funktionsterm von \(h\).
Begründung (nicht verlangt)
Da der Graph der Funktion \(h\) punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ist, besitzt \(h\) auch die Nullstelle \(x = -2\).
Es bietet sich eine ganzrationale Funktion vom Grad 3 an, deren Term sich anhand der Nullstellen in der Produktdarstellung \(h(x) = a \cdot (x - x_1)(x-x_2)(x-x_3)\) angeben lässt, wobei \(x_1\), \(x_2\) und \(x_3\) Nullstellen von \(h\) sind. Wegen der Punktsymmetrie des Graphen von \(h\), muss die dritte Nullstelle \(x = 0\) sein.
\[\Rightarrow \; h(x) = a \cdot x(x - 2)(x+2) = \textcolor{#cc071e}{ax^3} + \cdots\]
Nun ist noch ein möglicher Wert für den Leitkoeffizienten \(a\) zu bestimmen.
Bei einer ganzrationalen Funktion bestimmt der Summand mit dem höchsten vorkommenden Exponenten das Verhalten im Unendlichen. Beim gewählten Ansatz für \(h(x)\) ist dies der Summand \(\textcolor{#cc071e}{ax^3}\).
Somit muss \(\lim \limits_{x\, \to\, -\infty}h(x) = \lim \limits_{x\, \to\, -\infty}\textcolor{#cc071e}{ax^3} = +\infty\) gelten und damit \(\textcolor{#cc071e}{a < 0}\), also beispielsweise \(\textcolor{#cc071e}{a = -1}\).
\[\Rightarrow \; h(x) = \textcolor{#cc071e}{-}x(x - 2)(x+2)\]
(Vgl. Mathematik Abiturskript Bayern G9 - 1 Analysis, 1.1.1 Ganzrationale Funktion - Produktdarstellung, Verhalten für \(x \to -\infty\) und \(x \to +\infty\))
