Geben Sie den maximalen Definitionsbereich des Terms \(f'(x) = \dfrac{10 - 2x}{\sqrt{10x - x^2}}\) an. Bestimmen Sie \(\lim \limits_{x\,\to\,0}f'(x)\) und deuten Sie das Ergebnis geometrisch.
(4 BE)
Lösung zu Teilaufgabe e
\(f'(x) = \dfrac{10 - 2x}{\sqrt{10x - x^2}}\) (vgl. Teilaufgabe b)
Maximaler Definitionsbereich von \(f'\)
\[D_{f'} =\; ]0;10[\]
Begründung (nicht verlangt)
Maximale Definitionsmenge bestimmen
Gebrochenrationale Funktion / Quotient von Funktionen
\[x \mapsto \dfrac{Zähler(x)}{\textcolor{#e9b509}{\underbrace{Nenner(x)}_{\Large{\neq \, 0}}}}\]
Nullstelle(n) des Nenners ausschließen!
Wurzelfunktion
\[x \mapsto \sqrt{\mathstrut\smash{\textcolor{#e9b509}{\underbrace{\dots}_{\Large{\geq\,0}}}}} \\ {}\]
Der Wert des Terms unter der Wurzel (Radikand ) darf nicht negativ sein!
(natürliche) Logarithmusfunktion
\(x \mapsto \ln{(\,\textcolor{#e9b509}{\underbrace{\dots}_{\Large{>\,0}}}\,)}\) bzw. \(x \mapsto \log_{a}{(\,\textcolor{#e9b509}{\underbrace{\dots}_{\Large{>\,0}}}\,)}\)
Die (Natürliche) Logarithmusfunktion ist in \(\textcolor{#e9b509}{\mathbb R^{+}}\) definiert!
\(f'(x) = \dfrac{10 - 2x}{\textcolor{#e9b509}{\underbrace{\sqrt{10x - x^2}}_{\neq\,0}}}\)
Der Nennerterm \(\textcolor{#e9b509}{\sqrt{10x - x^2}}\) von \(f'\) darf nicht null sein. Der Wert einer Wurzel ist null, wenn der Wert des Radikanden (Term unter der Wurzel) null ist.
\[\begin{align*}\sqrt{10x - x^2} &= 0 \\[0.8em] \Rightarrow \enspace 10x - x^2 &= 0 &&| \; x\;\text{ausklammern (Produkt formulieren)} \\[0.8em] x \cdot (10 - x) &= 0 \\[0.8em] \Rightarrow \enspace x_1 = \textcolor{#cc071e}{0}; \; x_2 &= \textcolor{#cc071e}{10} \end{align*}\]
\[\Rightarrow \enspace D_{f'} =\; \textcolor{#cc071e}{]}0;10\textcolor{#cc071e}{[}\]
Bestimmung von \(\lim \limits_{x\,\to\,0}f'(x)\) und geometrische Deutung des Ergebnisses
\[\lim \limits_{x\,\to\,0} f'(x) = \lim \limits_{x\,\to\,0} \frac{\textcolor{#0087c1}{\overbrace{10 - 2x}^{\to\,10}}}{\textcolor{#e9b509}{\underbrace{\sqrt{10x - x^2}}_{\to\,0^+}}} = +\infty\]
Geometrische Deutung des Ergebnisses:
Die Ableitungsfunktion \(f'\) beschreibt die Steigung des Graphen der Funktion \(f\) (Steigung der Tangente) an einer betrachteten Stelle \(x_0\).
Anwendung der Differetialrechnung:
Steigung \(m_{T}\) einer Tangente \(T\) an den Graphen einer Funktion \(f\) im Punkt \(P\,(\,x_0\,|\,f(x_0)\,)\)
\[m_{T} = f'(x_0)\]
(vgl. Merkhilfe)
Das Ergebnis bedeutet somit:
Für \(x \to 0\) wird die Steigung von \(G_f\) beliebig groß.
oder
\(G_f\) hat im Ursprung eine senkrechte Tangente (\(y\)-Achse).
