Abiturlösungen Mathematik Bayern 2022

Aufgaben mit ausführlichen Lösungen

Zeigen Sie, dass die folgende Aussage für jeden Wert von \(a\) richtig ist:

Wird der Graph von \(f_a\) mit dem gleichen Faktor \(k > 0\) sowohl in \(x\)-Richtung als auch in \(y\)-Richtung gestreckt, so stellt der dadurch entstehende Graph ebenfalls eine Funktion der Schar dar.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2d

 

\[\begin{align*}k \cdot f_{a}\left( \frac{1}{k} \cdot x \right) &= k \cdot \frac{1}{k} \cdot x \cdot e^{-\frac{1}{2}a \cdot \left(\frac{1}{k} \cdot x\right)^2 + \frac{1}{2}} \\[0.8em] &= x \cdot e^{-\frac{1}{2} \cdot \frac{a}{k^2} \cdot x^2 + \frac{1}{2}} \\[0.8em] &= f_{\frac{a}{k^2}}(x)\end{align*}\]

 

Ausführliche Erklärung (nicht verlangt)

 

\[f_a(x) = x \cdot e^{-\frac{1}{2}a \cdot x^2 + \frac{1}{2}}; \; D_{f_a} = \mathbb R, \; a \in \mathbb R\]

Strecken von Funktionsgraphen

Strecken von Funktionsgraphen

Streckung in \(\textcolor{#0087c1}{x}\)-Richtung mit Streckungsfaktor \(\textcolor{#0087c1}{k}\,\):

\[h(x) = f\left(\textcolor{#0087c1}{\frac{1}{k}} \cdot x \right), \enspace k > 0\]

Streckung in \(\textcolor{#0087c1}{x}\)-Richtung mit Streckungsfaktor \(\textcolor{#0087c1}{\dfrac{1}{k}}\):

\[h(x) = f(\textcolor{#0087c1}{k} \cdot x), \enspace k > 0\]

Streckung in \(\textcolor{#cc071e}{y}\)-Richtung mit Streckungsfaktor \(\textcolor{#cc071e}{k}\,\):

\[g(x) = \textcolor{#cc071e}{k} \cdot f(x), \enspace k > 0\]

Streckung in \(\textcolor{#0087c1}{x}\)-Richtung mit Streckungsfaktor \(\textcolor{#0087c1}{k}\) \((k > 0)\):

 

\[f_a\left( \textcolor{#0087c1}{\frac{1}{k}} \cdot x \right) = \textcolor{#0087c1}{\frac{1}{k}} \cdot x \cdot e^{-\frac{1}{2}a \cdot \left(\textcolor{#0087c1}{\frac{1}{k}} \cdot x\right)^2 + \frac{1}{2}}\]

 

Streckung in \(\textcolor{#cc071e}{y}\)-Richtung mit Streckungsfaktor \(\textcolor{#cc071e}{k}\) \((k > 0)\):

 

\[\textcolor{#cc071e}{k} \cdot f(a) = \textcolor{#cc071e}{k} \cdot x \cdot e^{-\frac{1}{2}a \cdot x^2 + \frac{1}{2}}\]

 

Streckung in \(\textcolor{#0087c1}{x}\)- und \(\textcolor{#cc071e}{y}\)-Richtung mit Streckungsfaktor \(k\) \((k > 0)\):

 

\[\begin{align*}\textcolor{#cc071e}{k} \cdot f_{a}\left( \textcolor{#0087c1}{\frac{1}{k}} \cdot x \right) &= \textcolor{#cc071e}{k} \cdot \textcolor{#0087c1}{\frac{1}{k}} \cdot x \cdot e^{-\frac{1}{2}a \cdot \left(\textcolor{#0087c1}{\frac{1}{k}} \cdot x\right)^2 + \frac{1}{2}} \\[0.8em] &= x \cdot e^{-\frac{1}{2} \cdot a \cdot \textcolor{#0087c1}{\frac{1}{k^2}} \cdot x^2 + \frac{1}{2}} \\[0.8em] &= x \cdot e^{-\frac{1}{2} \cdot \textcolor{#e9b509}{\dfrac{a}{k^2}} \cdot x^2 + \frac{1}{2}} \\[0.8em] &= f_{\textcolor{#e9b509}{\frac{a}{k^2}}}(x)\end{align*}\]

 

Mit \(a \in \mathbb R\) ist \(\textcolor{#e9b509}{\dfrac{a}{k^2}}\) für einen beliebigen Wert \(k > 0\) ein erlaubter Wert des Parameters \(a\). Somit stellt der durch eine Streckung sowohl in \(x\)-Richtung als auch in \(y\)-Richtung mit \(k > 0\) entstehende Graph ebenfalls eine Funktion der Schar dar.