Die Zufallsgröße \(X\) ordnet jedem Ergebnis die Anzahl der entsprechenden Münzwürfe zu. Berechnen Sie den Erwartungswert von \(X\).
(3 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 2b
Wahrscheinlichkeitsverteilung und Erwartungswert einer Zufallsgröße
Zufallsgröße \(X\): Anzahl der Münzwürfe
Aus Teilaufgabe 2a ist bekannt:
\[P(\{ZZ\}) = P(\{WW\}) = 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25\]
\[\begin{align*}P(\{ZWZ\}) &= P(\{ZWW\}) = P(\{WZZ\}) = P(\{WZW\}) \\[0.8em] &= 0{,}125\end{align*}\]
Die Zufallsgröße \(X\) kann die Werte \(x_{1} = 2\) (zwei Münzwürfe) und \(x_{2} = 3\) (drei Münzwürfe) annehmen (vgl. Baumdiagramm Teilaufgabe 2a).
Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße \(X\):
\[P(X = 2) = P(\{ZZ\}) + P(\{WW\}) = 0{,}25 + 0{,}25 = 0{,}5\]
\[\begin{align*}P(X = 3) &= P(\{ZWZ\}) + P(\{ZWW\}) + P(\{WZZ\}) + P(\{WZW\}) \\[0.8em] &= 0{,}125 + 0{,}125 + 0{,}125 + 0{,}125 \\[0.8em] &= 0{,}5\end{align*}\]
| \(X = x_{i}\) | \(2\) | \(3\) |
| \(P(X = x_{i})\) | \(0{,}5\) | \(0{,}5\) |
Verteilungstabelle der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße \(X\)
Erwartungswert der Zufallsgröße \(X\) berechnen:
Ist \(X\) eine Zufallsgröße, deren mögliche Werte \(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}\) sind, dann gilt:
Erwartungswert \(\boldsymbol{\mu}\) der Zufallsgröße \(\boldsymbol{X}\) (vgl. Merkhilfe)
\[\begin{align*}\mu = E(X) &= \sum \limits_{i = 1}^{n} x_{i} \cdot p_{i} \\[0.8em] &= x_{1} \cdot p_{1} + x_{2} \cdot p_{2} \,+\, ... \,+\, x_{n} \cdot p_{n} \end{align*}\]
Der Erwartungswert \(\boldsymbol{\mu}\) einer Zufallsgröße \(X\) gibt den Mittelwert der Zufallsgröße an, der bei oftmaliger Wiederholung eines Zufallsexperiments zu erwarten ist.
\[\begin{align*}E(X) &= x_{1} \cdot P(X = x_{1}) + x_{2} \cdot P(X = x_{2}) \\[0.8em] &= 2 \cdot 0{,}5 + 3 \cdot 0{,}5 \\[0.8em] &= 2{,}5 \end{align*}\]
