49 % der Pakete enthalten Kleidung. Von den Paketen, bei denen es sich um Retouren handelt, enthalten 91 % Kleidung.
Es wird ein Paket zufällig ausgewählt. Betrachtet werden folgende Ereignisse:
\(R\): „Bei dem Paket handelt es sich um eine Retoure."
\(K\): „Das Paket enthält Kleidung."
Stellen Sie den beschriebenen Sachverhalt in einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel dar. Bestimmen Sie für den Fall, dass das ausgewählte Paket keine Retoure ist, die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Paket Kleidung enthält.
(5 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1d
\(R\): „Bei dem Paket handelt es sich um eine Retoure."
\(K\): „Das Paket enthält Kleidung."
Vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel
Gegeben:
\(P(K) = \textcolor{#89ba17}{0{,}49}\), \(P(\overline{K}) = 1 - P(K) = 1 - \textcolor{#89ba17}{0{,}49} = 0{,}51\)
\(P(R) = \textcolor{#89ba17}{0{,}2}\) (vgl. Angabe Aufgabe 1), \(P(\overline{R}) = 1 - P(R) = 1 - \textcolor{#89ba17}{0{,}2} = 0{,}8\)
\(P_R(K) = 0{,}91\)
| \(K\) | \(\overline{K}\) | ||
| \(R\) | \(\textcolor{#89ba17}{0{,}2}\) | ||
| \(\overline{R}\) | \(0{,}8\) | ||
| \(\textcolor{#89ba17}{0{,}49}\) | \(0{,}51\) | \(1\) |
Mit den gegebenen Wahrscheinlichkeiten lässt sich die Vierfeldertafel nicht ausfüllen. Es fehlt ein Eintrag einer innerer Zelle. Dieser kann mithilfe der bedingten Wahrscheinlichkeit \(P_R(K) = 0{,}91\) berechnet werden.
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses \(B\) unter der Voraussetzung oder der Bedingung, dass das Ereignis \(A\) bereits eingetreten ist, heißt bedingte Wahrscheinlichkeit von \(\boldsymbol{B}\) unter der Bedingung \(\boldsymbol{A}\) und wird durch die Schreibweise \(P_{A}(B)\) gekennzeichnet.
Es gilt: \(P_{A}(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} \quad (P(A) \neq 0)\)
(vgl. Merkhilfe)
\[\begin{align*}P_R(K) = \frac{P(R \cap K)}{P(R)} \; \Leftrightarrow \; P(R \cap K) &= P(R) \cdot P_R(K) \\[0.8em] &= 0{,}2 \cdot 0{,}91 \\[0.8em] &= \textcolor{#e9b509}{0{,}182}\end{align*}\]
| \(K\) | \(\overline{K}\) | ||
| \(R\) | \(\textcolor{#e9b509}{0{,}182}\) | \(\textcolor{#89ba17}{0{,}2}\) | |
| \(\overline{R}\) | \(0{,}8\) | ||
| \(\textcolor{#89ba17}{0{,}49}\) | \(0{,}51\) | \(1\) |
Damit kann die Vierfeldertafel durch zeilen- bzw. spaltenweises Subtrahieren vollständig ausgefüllt werden.
| \(K\) | \(\overline{K}\) | ||
| \(R\) | \(\textcolor{#e9b509}{0{,}182}\) | \(0{,}018\) | \(\textcolor{#89ba17}{0{,}2}\) |
| \(\overline{R}\) | \(0{,}308\) | \(0{,}492\) | \(0{,}8\) |
| \(\textcolor{#89ba17}{0{,}49}\) | \(0{,}51\) | \(1\) |
Bestimmung der bedingten Wahrscheinlichkeit \(P_{\overline{R}}(K)\)
| \(K\) | \(\overline{K}\) | ||
| \(R\) | \(0{,}182\) | \(0{,}018\) | \(0{,}2\) |
| \(\overline{R}\) | \(\textcolor{#0087c1}{0{,}308}\) | \(0{,}492\) | \(\textcolor{#0087c1}{0{,}8}\) |
| \(0{,}49\) | \(0{,}51\) | \(1\) |
Mithilfe der ausgefüllten Vierfeldertafel ergibt sich:
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses \(B\) unter der Voraussetzung oder der Bedingung, dass das Ereignis \(A\) bereits eingetreten ist, heißt bedingte Wahrscheinlichkeit von \(\boldsymbol{B}\) unter der Bedingung \(\boldsymbol{A}\) und wird durch die Schreibweise \(P_{A}(B)\) gekennzeichnet.
Es gilt: \(P_{A}(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} \quad (P(A) \neq 0)\)
(vgl. Merkhilfe)
\[P_{\overline{R}}(K) = \frac{\textcolor{#0087c1}{P(\overline{R} \cap K)}}{\textcolor{#0087c1}{P(\overline{R})}} = \frac{\textcolor{#0087c1}{0{,}308}}{\textcolor{#0087c1}{0{,}8}} = 0{,}385 = 38{,}5\,\%\]
