Die Abbildung zeigt den Graphen der Dichtefunktion der normalverteilten Zufallsgröße \(A\).
- Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass \(A\) einen Wert aus dem Intervall \([6;10]\) annimmt, beträgt etwa 68 %. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass \(A\) einen Wert annimmt, der größer als 10 ist.
(2 BE) - Die Zufallsgröße \(B\) ist ebenfalls normalverteilt; der Erwartungswert von \(B\) ist ebenso groß wie der Erwartungswert von \(A\), die Standardabweichung von \(B\) ist größer als die Standarabweichung von \(A\). Skizzieren Sie in der Abbildung einen möglichen Graphen der Dichtefunktion von \(B\).
(3 BE)
Lösung zu Aufgabe A3
a) Berechnung der Wahrscheinlichkeit \(P(A > 10)\)
Der Abbildung ist zu entnehmen, dass der Graph der Dichtefunktion der normalverteilten Zufallsgröße \(A\) zur Gerade mit der Gleichung \(x = \mu = 8\) symmetrisch ist. Da das Intervall \([6;10]\) ebenfalls symmetrisch zum Erwartungswert \(\mu\) liegt, folgt:
\[P(A > 10) = \frac{100\,\% - \textcolor{#0087c1}{68\,\%}}{2} = \textcolor{#cc071e}{16\,\%}\]
Die Verteilung einer stetigen Zufallsgröße \(X\)
mit der Dichtefunktion
\[\varphi_{\mu;\sigma}(x) = \frac{1}{\sigma \cdot \sqrt{2\pi}} \cdot e^{-\frac{1}{2}\cdot \left( \frac{x - \mu}{\sigma}\right)^2}\enspace (-\infty < x < +\infty)\]
und der kumulativen Verteilungsfunktion
\[\Phi_{\mu;\sigma}(x) = \int_{-\infty}^x \varphi_{\mu;\sigma}(t) dt= \frac{1}{\sigma \cdot \sqrt{2\pi}}\cdot \int_{-\infty}^x e^{-\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{t-\mu}{\sigma} \right)^2}dt\]
heißt (Gauß'sche) Normalverteilung mit den Parametern \(\mu \in \mathbb R\) (Erwartungswert) und \(\sigma \in \mathbb R^+\) (Standardabweichung), kurz \(N_{\mu;\sigma}\)-Verteilung. Sprechweise: „\(X\) ist nach \(N_{\mu;\sigma}\) verteilt." oder „\(X\) ist \(N_{\mu;\sigma}\)-verteilt."
Für \(\mu = 0\) und \(\sigma = 1\) bezeichnet \(N_{0;1}\) die Standardnormalverteilung.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass \(X\) Werte aus dem Intervall \([a;b]\) mit \(a < b\) und \(a,b \in \mathbb R\) annimmt, ist
\[P(a \leq X \leq b) = \int_a^b \varphi_{\mu;\sigma}(x)dx = \Phi_{\mu;\sigma}(b) - \Phi_{\mu;\sigma}(a)\]
Die Dichtefunktion der Normalverteilung wird auch als Gauß'sche Glockenfunktion bezeichnet und ihre Graphen als Gauß'sche Glockenkurve.
Graph der Dichtefunktion \(\varphi_{\mu;\sigma}\) (Gauß'sche Glockenkurve)
Graph der Verteilungsfunktion \(\Phi_{\mu;\sigma}\)
Jede Dichtefunktion \(\varphi_{\mu;\sigma}\) besitzt folgende Eigenschaften:
\(\varphi_{\mu;\sigma}(x) > 0\) für \(x \in \mathbb R\) (Jeder Graph von \(\varphi_{\mu;\sigma}\) verläuft vollständig oberhalb der \(x\)-Achse).
\(\lim \limits_{x\,\to\,\pm\infty} \varphi_{\mu;\sigma}(x) = 0\) (Die \(x\)-Achse ist waagrechte Asymptote aller Graphen von \(\varphi_{\mu;\sigma}\)).
Jeder Graph von \(\varphi_{\mu;\sigma}\) ist achsensymmetrisch zur Gerade mit der Gleichung \(\textcolor{#e9b509}{x = \mu}\).
Mit \(\varphi_{\mu;\sigma}(\mu) = \dfrac{1}{\sigma \cdot \sqrt{2\pi}}\) besitzen die Graphen von \(\varphi_{\mu;\sigma}\) die Hochpunkte \(\textcolor{#e9b509}{H\bigg(\mu\bigg| \dfrac{1}{\sigma \cdot \sqrt{2\pi}}\bigg)}\) (einziger Extrempunkt).
Mit \(\varphi_{\mu;\sigma}(\mu \pm \sigma) = \dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \cdot e^{-\frac{1}{2}}\) besitzen die Graphen von \(\varphi_{\mu;\sigma}\) die Wendepunkte \(\textcolor{#cc071e}{W_{1,2}\bigg(\mu \pm \sigma\bigg| \dfrac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}\cdot e^{-\frac{1}{2}}\bigg)}\).
Der Inhalt der Fläche, die die Glockenkurve mit der \(x\)-Achse einschließt hat den Wert \(1\).
Je kleiner die Standardabweichung \(\sigma\) ist, desto höher liegt das Maximum der Kurve und desto steiler fällt die Kurve beidseitig des Erwartungswert \(\mu\) ab.
Da jede Glockenkurve zur Gerade mit der Gleichung \(x = \mu\) symmetrisch ist, gilt \(\displaystyle \Phi_{\mu;\sigma}(\mu) = \int_{-\infty}^\mu \varphi_{\mu;\sigma}(x)dx = 0{,}5\).
Jeder Graph einer kumulativen Verteilungsfunktion \(\Phi_{\mu; \sigma}\) verläuft durch den Wendepunkt \(W(\mu|0{,}5)\) und ist zu diesem punktsymmetrisch.
Von besonderem Interesse sind häufig Intervalle, die symmetrisch zum Erwartungswert \(\mu\) liegen. mithilfe der Sigma-Regeln lassen sich zu bestimmten vorgegebenen Wahrscheinlichkeiten die zughörigen Intervalle ermitteln.
| Ist \(X\) eine \(N_{\mu;\sigma}\)-verteilte Zufallsgröße, gelten folgende Sigma-Regeln | |
| Wahrscheinlichkeiten der \(\boldsymbol{\sigma}\)-Umgebungen | Intervalle für typische Wahrscheinlichkeiten |
| \(P(\mu - \textcolor{#cc071e}{\sigma} \leq X \leq \mu + \textcolor{#cc071e}{\sigma}) \approx \textcolor{#cc071e}{0{,}683}\) | \(P(\mu - 1{,}64\sigma \leq X \leq \mu + 1{,}64\sigma) \approx 0{,}90\) |
| \(P(\mu - \textcolor{#0087c1}{2\sigma} \leq X \leq \mu + \textcolor{#0087c1}{2\sigma}) \approx \textcolor{#0087c1}{0{,}954}\) | \(P(\mu - 1{,}96\sigma \leq X \leq \mu + 1{,}96\sigma) \approx 0{,}95\) |
| \(P(\mu - \textcolor{#e9b509}{3\sigma} \leq X \leq \mu + \textcolor{#e9b509}{3\sigma}) \approx \textcolor{#e9b509}{0{,}997}\) | \(P(\mu - 2{,}58\sigma \leq X \leq \mu + 2{,}58\sigma) \approx 0{,}99\) |
b) Skizze eines möglichen Graphen der Dichtefunktion von \(B\)
Je kleiner die Standardabweichung einer normalverteilten Zufallsgröße ist, desto höher liegt das Maximum des Graphen der Dichtefunktion (Glockenkurve) und desto steiler fällt der Graph beidseitig des Erwartungswerts ab.
Da die Standardabweichung von \(B\) größer ist als die von \(A\) (bei gleichem Erwartungswert \(\mu = 8\)), liegt das Maximum des Graphen der Dichtefunktion von \(B\) im Vergleich zum Graphen der Dichtefunktion von \(A\) niedriger und der Graph fällt beidseitig des Erwartungswerts flacher ab.
Beispiel: Graph der Dichtefunktion von \(\textcolor{#e9b509}{B}\) für \(\textcolor{#e9b509}{\sigma = 4}\)
(Vgl. Mathematik Abiturskript Bayern G9 - 2 Stochastik, 2.7.1 Eigenschaften der Normalverteilung)
