Berechnen Sie den Inhalt des Flächenstücks, das \(G_f\) im ersten Quadranten mit der \(x\)-Achse einschließt.
(3 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1b
\[f(x) = -\frac{8}{27}x^3 + \frac{2}{3}x^2; \; D_f = \mathbb R\]
Das bestimmte Integral \(\displaystyle \int_0^{\frac{9}{4}}f(x)dx\) gibt den Inhalt \(A\) des Flächenstücks an, das \(G_f\) im ersten Quadranten mit der \(x\)-Achse einschließt.
\[\int_a^b f(x)dx = \left[ F(x) \right]_a^b = F(b) - F(a)\]
Dabei ist \(F\) eine Stammfunktion von \(f\).
Die Berechnung eines bestimmten Integrals hängt maßgeblich davon ab, wie schwierig es ist, eine Stammfunktion des Integranden zu bilden.
Nachfolgend sind in diesem Zusammenhang wichtige unbestimmte Integrale aufgeführt (\(C \in \mathbb R\)):
\[\int x^{r} dx = \frac{x^{r + 1}}{r + 1} + C \quad (r \neq - 1)\]
\[\int \frac{1}{x}\,dx = \ln{\vert x \vert} + C\]
\[\int \sin{x} \, dx = -\cos{x} + C\]
\[\int \cos{x} \, dx = \sin{x} + C\]
\[\int e^{x} dx = e^{x} + C\]
\[\int \ln{x}\, dx = -x + x \cdot \ln{x} + C\]
\[\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \ln{\vert f(x) \vert} + C\]
\[\int f'(x) \cdot e^{f(x)} dx = e^{f(x)} + C\]
\(\displaystyle \int f(ax + b) \, dx = \frac{1}{a} \cdot F(ax + b) + C\), wobei \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist.
Ein bestimmtes Integral \(\displaystyle \int_a^b f(x)dx\) gibt die Flächenbilanz der Inhalte der Flächen an, die der Graph der Funktion \(f\) im Intervall \([a;b]\) mit der \(x\)-Achse einschließt.
Dabei zählen für \(a < b\) Flächen oberhalb der \(\textcolor{#0087c1}{x}\)-Achse positiv und Flächen unterhalb der \(\textcolor{#cc071e}{x}\)-Achse negativ. Für \(a > b\) zählen die Flächen mit umgekehrten Vorzeichen.
Identische Integrationsgrenzen:
\[\int_{\textcolor{#cc071e}{a}}^{\textcolor{#cc071e}{a}}f(x)dx = 0\]
Faktorregel:
\(\displaystyle \int_{a}^{b} \textcolor{#e9b509}{k} \cdot f(x)dx = \textcolor{#e9b509}{k} \cdot \int_{a}^{b}f(x)dx\) mit \(\textcolor{#e9b509}{k} \in \mathbb R\)
Summenregel:
\[\int_{a}^{b} \left[f(x) \pm g(x) \right] dx = \int_{a}^{b}f(x)\,dx \pm \int_{a}^{b}g(x)\,dx\]
Vertauschungsregel:
\[\int_{\textcolor{#cc071e}{a}}^{\textcolor{#0087c1}{b}}f(x)\,dx = -\int_{\textcolor{#0087c1}{b}}^{\textcolor{#cc071e}{a}}f(x)\,dx\]
Zerlegung in Teilintervalle:
\[\displaystyle \int_{\textcolor{#cc071e}{a}}^{\textcolor{#0087c1}{b}}f(x)\,dx = \int_{\textcolor{#cc071e}{a}}^{\textcolor{#89ba17}{c}}f(x)\,dx + \int_{\textcolor{#89ba17}{c}}^{\textcolor{#0087c1}{b}}f(x)\,dx\]
\[\begin{align*}A &= \int_0^{\frac{9}{4}} \left(\textcolor{#e9b509}{-\frac{8}{27}x^3 + \frac{2}{3}x^2}\right)dx &&\Big| \; \int \textcolor{#e9b509}{x^r} dx = \textcolor{#e9b509}{\frac{x^{r + 1}}{r + 1} + C} \;(r \neq -1) \\[0.8em] &= \bigg[ \textcolor{#e9b509}{\underbrace{-\frac{2}{27}x^4 + \frac{2}{9}x^3}_{\text{Stammfunktion}}} \bigg]_{\textcolor{#0087c1}{0}}^{\textcolor{#cc071e}{\frac{9}{4}}} \\[0.8em] &= -\frac{2}{27} \cdot \left( \textcolor{#cc071e}{\frac{9}{4}} \right)^4 + \frac{2}{9} \cdot \left( \textcolor{#cc071e}{\frac{9}{4}} \right)^3 - 0 \\[0.8em] &= \frac{81}{121} \end{align*}\]
