Die Anzahl der auf der Erde lebenden Menschen wuchs von 6,1 Milliarden zu Beginn des Jahres 2000 auf 6,9 Milliarden zu Beginn des Jahres 2010.Dieses Wachstum lässt sich näherungsweise durch eine Exponentialfunktion mit einem Term der Form \(N(x) = N_0 \cdot e^{k \cdot (x - 2000)}\) beschreiben, wobei \(N(x)\) die Anzahl der Menschen zu Beginn des Jahres \(x\) ist.
Bestimmen Sie \(N_0\) und \(k\).
(5 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 3
Exponentielles Wachstum
\[N(x) = N_0 \cdot e^{k \cdot (x - 2000)}\]
| \(x\) | \(2000\) | \(2010\) |
| \(N(x)\) | \(6{,}1 \cdot 10^9\) | \(6{,}9 \cdot 10^9\) |
Bestimmung von \(N_0\):
Der Beginn des Jahres 2000 markiert in diesem Fall den Anfang der Beobachtung des Bevölkerungswachstums. Mit \(x_0 = 2000\) folgt:
\[N(x_0) = N_0 \cdot e^{k \cdot (x_0 - 2000)} \quad \Longleftrightarrow \quad 6{,}1 \cdot 10^9 = N_0 \cdot \underbrace{e^{k \cdot (2000 - 2000)}}_{1}\]
\[\Longrightarrow \quad N_0 = 6{,}1 \cdot 10^9\]
Bestimmung von \(k\;\):
\[\begin{align*} N(2010) &= N_0 \cdot e^{k \cdot (2010 - 2000)} \\[0.8em] 6{,}9 \cdot 10^9 &= 6{,}1 \cdot 10^9 \cdot e^{10k} &{} &| : (6{,}1 \cdot 10^9) \\[0.8em] \frac{6{,}9}{6{,}1} &= e^{10k} &{} &| \ln(...) \\[0.8em] \ln{\left ( \frac{6{,}9}{6{,}1} \right )} &= 10k &{} &| : 10 \\[0.8em] k &= \frac{\ln{6{,}9} - \ln{6{,}1}}{10} \\[0.8em] k &\approx 0{,}0123 \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad N(x) = 6{,}1 \cdot 10^9 \cdot e^{0{,}123 \cdot (x - 2000)}\]
