Zeigen Sie, dass für die zweite Ableitung \(f''\) von \(f\) die Beziehung \(f''(x) = \frac{1}{4} \cdot f(x)\) für \(x \in \mathbb R\) gilt. Weisen Sie nach, dass \(G_{f}\) linksgekrümmt ist.

(zur Kontrolle: \(f'(x) = \frac{1}{2} \cdot \left( e^{\frac{1}{2}x} + e^{-\frac{1}{2}x} \right)\))

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1c

Krümmungsverhalten eines Funktionsgraphen

Nachweis der Beziehung \(f''(x) = \frac{1}{4} \cdot f(x)\) für \(x \in \mathbb R\)

\[f(x) = e^{\frac{1}{2}x} + e^{-\frac{1}{2}x}; \; D = \mathbb R\]

Mithilfe der Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion sowie der Ketten- und der Summenregel ergibt sich:

\[\begin{align*}f'(x) &= e^{\frac{1}{2}x} \cdot \frac{1}{2} + e^{-\frac{1}{2}x} \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \left( e^{\frac{1}{2}x} - e^{-\frac{1}{2}x} \right) \end{align*}\]

\[\begin{align*}f''(x) &= \frac{1}{2} \cdot \left[ e^{\frac{1}{2}x} \cdot \frac{1}{2} - e^{-\frac{1}{2}x} \left( -\frac{1}{2} \right)  \right] \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \left( e^{\frac{1}{2}x} + e^{-\frac{1}{2}x} \right) \\[0.8em] &= \frac{1}{4} \cdot \left( e^{\frac{1}{2}x} + e^{-\frac{1}{2}x} \right) \\[0.8em] &= \frac{1}{4} \cdot f(x) \end{align*}\]

Nachweis, dass \(G_{f}\) linksgekrümmt ist

\[f''(x) = \frac{1}{4} \cdot f(x)\]

Aus Teilaufgabe 1a ist bekannt: \(f(x) > 0\) für \(x \in \mathbb R\).

\(\Longrightarrow \quad f''(x) > 0\) für \(x \in \mathbb R\).

\(\Longrightarrow \quad G_{f}\) ist in \(\mathbb R\) linksgekrümmt.