In der Abbildung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße \(X\) mit der Wertemenge \(\{0;1;2;3;4\}\) und dem Erwartungswert \(2\) dargestellt. Weisen Sie nach, dass es sich dabei nicht um eine Binomialverteilung handeln kann.
(3 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 2
Wahrscheinlichkeitsverteilung einer binomialverteilten Zufallsgröße, Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße
Unter der Annahme einer binomialverteilten Zufallsgröße \(X\) entnimmt man der Abbildung den Parameter \(n = 4\) (Länge der Bernoulli-Kette) und bestimmt mithilfe des bekannten Erwartungswerts \(E(X) = 2\) (vgl. Angabe) den Parameter \(p\) (Trefferwahrscheinlichkeit) der binomialverteilten Zufallsgröße.
Anschließend lassen sich die Wahrscheinlichkeiten \(P_{p}^{4}(X = k); \; k \in \{0;1;2;3;4\}\) der Binomialverteilung berechnen und mit den Werten der Abbildung vergleichen.
Für den Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße \(X\) gilt:
Erwartungswert \(\boldsymbol{\mu}\) einer binomialverteilten Zufallsgröße \(\boldsymbol{X}\)
\(\mu = E(X) = n \cdot p\) (vgl. Merkhilfe)
Wobei \(n\) die Länge der Bernoullikette und \(p\) die Trefferwahrscheinlichkeit für das Eintreten des betrachteten Ereignisses ist.
\[E(X) = n \cdot p\]
Mit \(n = 4\) und \(E(X) = 2\) folgt:
\[\begin{align*}E(X) &= n \cdot p \\[0.8em] \Longleftrightarrow \enspace p &= \frac{E(X)}{n} \\[0.8em] &= \frac{2}{4} \\[0.8em] &= 0{,}5 \end{align*}\]
Alternative:
Die Abbildung zeigt eine zum Erwartungswert symmetrische Wahrscheinlichkeitsverteilung. Eine Binomialverteilung ist ausschließlich für \(p = 0{,}5\) zum Erwartungswert symmetrisch. Unter der Annahme, dass die Abbildung die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer binomialverteilten Zufallsgröße \(X\) zeigt, muss deshalb gelten:
\[p = 0{,}5\]
Wahrscheinlichkeiten \(P_{0{,}5}^{4}(X = k)\) bestimmen und vergleichen:
Die Wahrscheinlichkeiten \(P_{0{,}5}^{4}(X = k)\) können dem Stochastischen Tafelwerk (ST) entnommen werden.
Wegen der Symmetrie der abgebildeten Wahrscheinlichkeitsverteilung genügt es, die Wahrscheinlichkeiten \(P_{0{,}5}^{4}(X = k)\) für \(k \in \{0;1;2\}\) zu vergleichen.
Binomialverteilte Zufallsgröße
Für eine Zufallsgröße \(X\), welche bei einer Bernoulli-Kette der Länge \(n\) die Anzahl der Treffer \(k \in \{0,1,\dots,n\}\) mit der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) angibt, gilt:
Binomialverteilung (vgl. Merkhilfe)
\[P_{p}^{n}(X = k) = B(n;p;k) = \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k} \quad (0 \leq k \leq n)\]
Eine Binomialverteilung ist durch die Parameter \(n\) und \(p\) eindeutig bestimmt und wird durch das Symbol \(B(n:p)\) gekennzeichnet. \(X\) heißt binomialverteilt nach \(B(n;p)\).
Voraussetzung für eine Binomialverteilung
Ein Zufallsexperiment, bei dem nur zwei sich gegenseitig ausschließende Ereignisse \(A\) und \(\overline{A}\) mit konstanten Wahrscheinlichkeiten eintreten können (Bernoulli-Experiment).
\[P_{0{,}5}^{4}(X = 0) \,\overset{\text{ST}}{=}\, 0{,}06250\]
Abbildung: \(P(X = 0) = \frac{1}{16} = 0{,}0625\)
\[P_{0{,}5}^{4}(X = 1) \,\overset{\text{ST}}{=} \, 0{,}25000\]
Abbildung: \(P(X = 1) < 0{,}25\)
\[P_{0{,}5}^{4}(X = 2) \, \overset{\text{ST}}{=} \, 0{,}37500\]
Abbildung: \(P(X = 2) = \frac{7}{16} = 0{,}4375\)
Ergebnis:
Unter der Annahme einer binomialverteilten Zufallsgröße \(X\) unterscheiden sich die Werte der Wahrscheinlichkeiten \(P_{0{,}5}^{4}(X = 1)\) und \(P_{0{,}5}^{4}(X = 2)\) von den Werten der abgebildeten Wahrscheinlichkeiten \(P(X = 1)\) und \(P(X = 2)\) deutlich. Folglich zeigt die Abbildung keine Binomialverteilung.
