Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Wert der Zufallsgröße \(X\) höchstens um eine Standardabweichung vom Erwartungswert der Zufallsgröße abweicht.
(4 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1c
\(X\): Anzahl der Besucher, die ein Lebkuchenherz tragen.
\(n = 25\); \(p = \frac{1}{6}\)
Die Zufallsgröße \(X\) ist nach \(B(25; \frac{1}{6})\) binomialverteilt.
Binomialverteilte Zufallsgröße
Für eine Zufallsgröße \(X\), welche bei einer Bernoulli-Kette der Länge \(n\) die Anzahl der Treffer \(k \in \{0,1,\dots,n\}\) mit der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) angibt, gilt:
Binomialverteilung (vgl. Merkhilfe)
\[P_{p}^{n}(X = k) = B(n;p;k) = \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k} \quad (0 \leq k \leq n)\]
Eine Binomialverteilung ist durch die Parameter \(n\) und \(p\) eindeutig bestimmt und wird durch das Symbol \(B(n:p)\) gekennzeichnet. \(X\) heißt binomialverteilt nach \(B(n;p)\).
Voraussetzung für eine Binomialverteilung
Ein Zufallsexperiment, bei dem nur zwei sich gegenseitig ausschließende Ereignisse \(A\) und \(\overline{A}\) mit konstanten Wahrscheinlichkeiten eintreten können (Bernoulli-Experiment).
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit \(P_{\frac{1}{6}}^{25}(\vert X - \mu \vert \leq \sigma) = P_{\frac{1}{6}}^{25}(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma)\).
Erwartungswert \(E(X) = \mu\) berechnen
Erwartungswert \(\boldsymbol{\mu}\) einer binomialverteilten Zufallsgröße \(\boldsymbol{X}\)
\(\mu = E(X) = n \cdot p\) (vgl. Merkhilfe)
Wobei \(n\) die Länge der Bernoullikette und \(p\) die Trefferwahrscheinlichkeit für das Eintreten des betrachteten Ereignisses ist.
\[\mu = n \cdot p = 25 \cdot \frac{1}{6} = \frac{25}{6}\]
Standardabweichung \(\sigma\) berechnen
Standardabweichung \(\boldsymbol{\sigma}\) einer binomialverteilten Zufallsgröße \(\boldsymbol{X}\)
\[\sigma = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)}\]
Wobei \(n\) die Länge der Bernoullikette und \(p\) die Trefferwahrscheinlichkeit für das Eintreten des betrachteten Ereignisses ist. \(Var(X)\) bezeichnet die Varianz der Zufallsgröße \(X\).
\[\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)} = \sqrt{25 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6}} = \sqrt{\frac{125}{36}} = \frac{5\sqrt{5}}{6}\]
Grenzen \(\mu - \sigma\) und \(\mu + \sigma\) berechnen
\[\mu - \sigma = \frac{25}{6} - \frac{5\sqrt{5}}{6} \approx 2{,}30\]
\[\mu + \sigma = \frac{25}{6} + \frac{5\sqrt{5}}{6} \approx 6{,}03\]
Wahrscheinlichkeit \(P_{\frac{1}{6}}^{25}(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma)\) berechnen
Mithilfe des Stochstischen Tafelwerks (ST) ergibt sich:
\[\begin{align*} P_{\frac{1}{6}}^{25}(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma) &= P_{\frac{1}{6}}^{25}(2{,}30 \leq X \leq 6{,}03) &&| \; X \in \mathbb N \\[0.8em] &= P_{\frac{1}{6}}^{25}(3 \leq X \leq 6) \\[0.8em] &= P_{\frac{1}{6}}^{25}(X \leq 6) - P_{\frac{1}{6}}^{25}(X \leq 2) \\[0.8em] &\overset{\text{ST}}{=} 0{,}89077 - 0{,}18869 \\[0.8em] &= 0{,}70208 \\[0.8em] &\approx 70{,}2\,\% \end{align*}\]
