Abiturlösungen Mathematik Bayern 2019

Aufgaben mit ausführlichen Lösungen

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Wert der Zufallsgröße \(X\) höchstens um eine Standardabweichung vom Erwartungswert der Zufallsgröße abweicht.

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1c

 

\(X\): Anzahl der Besucher, die ein Lebkuchenherz tragen.

\(n = 25\); \(p = \frac{1}{6}\)

Die Zufallsgröße \(X\) ist nach \(B(25; \frac{1}{6})\) binomialverteilt.

Binomialverteilte Zufallsgröße - Binomialverteilung

Binomialverteilte Zufallsgröße

Für eine Zufallsgröße \(X\), welche bei einer Bernoulli-Kette der Länge \(n\) die Anzahl der Treffer \(k \in \{0,1,\dots,n\}\) mit der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) angibt, gilt:

Binomialverteilung (vgl. Merkhilfe)

\[P_{p}^{n}(X = k) = B(n;p;k) = \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k} \quad (0 \leq k \leq n)\]

Eine Binomialverteilung ist durch die Parameter \(n\) und \(p\) eindeutig bestimmt und wird durch das Symbol \(B(n:p)\) gekennzeichnet. \(X\) heißt binomialverteilt nach \(B(n;p)\).

Voraussetzung für eine Binomialverteilung

Ein Zufallsexperiment, bei dem nur zwei sich gegenseitig ausschließende Ereignisse \(A\) und \(\overline{A}\) mit konstanten Wahrscheinlichkeiten eintreten können (Bernoulli-Experiment).

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit \(P_{\frac{1}{6}}^{25}(\vert X - \mu \vert \leq \sigma) = P_{\frac{1}{6}}^{25}(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma)\).

 

Erwartungswert \(E(X) = \mu\) berechnen

Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße

Erwartungswert \(\boldsymbol{\mu}\) einer binomialverteilten Zufallsgröße \(\boldsymbol{X}\)

\(\mu = E(X) = n \cdot p\)  (vgl. Merkhilfe)

Wobei \(n\) die Länge der Bernoullikette und \(p\) die Trefferwahrscheinlichkeit für das Eintreten des betrachteten Ereignisses ist.

\[\mu = n \cdot p = 25 \cdot \frac{1}{6} = \frac{25}{6}\]

 

Standardabweichung \(\sigma\) berechnen

Standardabweichung einer binomialverteilten Zufallsgröße

Standardabweichung \(\boldsymbol{\sigma}\) einer binomialverteilten Zufallsgröße \(\boldsymbol{X}\)

\[\sigma = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)}\]

Wobei \(n\) die Länge der Bernoullikette und \(p\) die Trefferwahrscheinlichkeit für das Eintreten des betrachteten Ereignisses ist. \(Var(X)\) bezeichnet die Varianz der Zufallsgröße \(X\).

\[\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)} = \sqrt{25 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6}} = \sqrt{\frac{125}{36}} = \frac{5\sqrt{5}}{6}\]

 

Grenzen \(\mu - \sigma\) und \(\mu + \sigma\) berechnen

 

\[\mu - \sigma = \frac{25}{6} - \frac{5\sqrt{5}}{6} \approx 2{,}30\]

\[\mu + \sigma = \frac{25}{6} + \frac{5\sqrt{5}}{6} \approx 6{,}03\]

 

Wahrscheinlichkeit \(P_{\frac{1}{6}}^{25}(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma)\) berechnen

Mithilfe des Stochstischen Tafelwerks (ST) ergibt sich:

 

\[\begin{align*} P_{\frac{1}{6}}^{25}(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma) &= P_{\frac{1}{6}}^{25}(2{,}30 \leq X \leq 6{,}03) &&| \; X \in \mathbb N \\[0.8em] &= P_{\frac{1}{6}}^{25}(3 \leq X \leq 6) \\[0.8em] &= P_{\frac{1}{6}}^{25}(X \leq 6) - P_{\frac{1}{6}}^{25}(X \leq 2) \\[0.8em] &\overset{\text{ST}}{=} 0{,}89077 - 0{,}18869 \\[0.8em] &= 0{,}70208 \\[0.8em] &\approx 70{,}2\,\% \end{align*}\]