Beschreiben Sie das Ereignis \(\overline{E} \cap H\) im Sachzusammenhang und ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Person einen Helm trug, wenn bekannt ist, dass sie mit einem Fahrrad ohne Elektromotor unterwegs war.
(3 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1b
Ereignis \(\overline{E} \cap H\) im Sachzusammenhang
\(\overline{E}\): „Die Person fuhr ein Fahrrad ohne Elektromotor."
\(H\): „Die Person trug einen Helm."
\(\overline{E} \cap H\) bedeutet, dass sowohl das Ereignis \(\overline{E}\) als auch das Ereignis \(H\) eintritt.
\(\overline{E} \cap H\): „Die Person fuhr ein Fahrrad ohne Elektromotor und trug einen Helm."
(Vgl. Mathematik Abiturskript Bayern G9 - 2 Stochastik, 2.1.1 Ereignisse - Verknüpfung von Ereignissen)
Wahrscheinlichkeit dafür, das ...
... die Person einen Helm trug, wenn bekannt ist, dass sie mit einem Fahrrad ohne Elektromotor unterwegs war.
Gesucht ist die bedingte Wahrscheinlichkeit \(P_{\overline{E}}(H)\).
Vierfeldertafel der absoluten Häufigkeiten
| \(E\) | \(\overline{E}\) | ||
| \(H\) | \(105\) | \(273\) | \(378\) |
| \(\overline{H}\) | \(105\) | \(147\) | \(252\) |
| \(210\) | \(420\) | \(630\) |
Vierfeldertafel der Wahrscheinlichkeiten (optional)
| \(E\) | \(\overline{E}\) | ||
| \(H\) | \(\frac{105}{630}\) | \(\frac{273}{630}\) | \(\frac{378}{630}\) |
| \(\overline{H}\) | \(\frac{105}{630}\) | \(\frac{147}{630}\) | \(\frac{252}{630}\) |
| \(\frac{210}{630}\) | \(\frac{420}{630}\) | \(1\) |
Mithilfe der Vierfeldertafel aus Teilaufgabe 1a ergibt sich:
Bei der Betrachtung eines zweistufigen Zufallsexperiments mit den Ereignissen \(A\) und \(B\) müssen zwei Fälle sorgfältig unterschieden werden.
1. Die Ereignisse \(A\) und \(B\) treten zugleich ein (\(A \cap B\)).
2. Das Ereignis \(B\) tritt unter der Bedingung ein, dass das Ereignis \(A\) bereits eingetreten ist.
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses \(B\) unter der Bedingung, dass das Ereignis \(A\) bereits eingetreten ist, heißt bedingte Wahrscheinlichkeit von \(\boldsymbol{B}\) unter der Bedingung \(\boldsymbol{A}\) und wird durch die Schreibweise \(P_A(B)\) gekennzeichnet.
Es gilt: \(P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} \enspace (P(A) \neq 0)\)
Die bedingten Wahrscheinlichkeiten werden bei einem Baumdiagramm an den Pfaden der zweiten Stufe (und ggf. höher) angetragen.
An den Enden der Pfade stehen die Wahrscheinlichkeiten für das gleichzeitige Eintreten der Ereignisse.
Nach der 1. Pfadregel (Multiplikationsregel) gilt beispielsweise:
\[\begin{align*}\textcolor{#e9b509}{P(A)} \cdot \textcolor{#0087c1}{P_A(B)} &= \textcolor{#cc071e}{P(A \cap B)} \\[0.8em] \Leftrightarrow \textcolor{#0087c1}{P_A(B)} &= \dfrac{\textcolor{#cc071e}{P(A \cap B)}}{\textcolor{#e9b509}{P(A)}}\end{align*}\]
Analog gilt für ein Baumdiagramm, das mit den Ereignissen \(B\) und \(\overline{B}\) beginnt, mithilfe der 1. und 2. Pfadregel:
\[\begin{align*}\textcolor{#e9b509}{P(B)} \cdot \textcolor{#0087c1}{P_B(A)} &= \textcolor{#cc071e}{P(A \cap B)} \\ \Leftrightarrow \textcolor{#0087c1}{P_B(A)} &= \frac{\textcolor{#cc071e}{P(A \cap B)}}{\textcolor{#e9b509}{P(B)}} \\\textcolor{#0087c1}{P_B(A)} &= \frac{\textcolor{#cc071e}{P(A \cap B)}}{\textcolor{#cc071e}{P(A \cap B)}+ \textcolor{#89ba17}{P(\overline{A} \cap B)}}\end{align*}\]
| \(B\) | \(\overline{B}\) | ||
| \(A\) | \(\textcolor{#cc071e}{P(A \cap B)}\) | \(P(A \cap \overline{B})\) | \(\textcolor{#e9b509}{P(A)}\) |
| \(\overline{A}\) | \(P(\overline{A} \cap B)\) | \(P(\overline{A} \cap \overline{B})\) | \(P(\overline{A})\) |
| \(\textcolor{#e9b509}{P(B)}\) | \(P(\overline{B})\) | \(1\) |
\[\textcolor{#0087c1}{P_A(B)} = \frac{\textcolor{#cc071e}{P(A \cap B)}}{\textcolor{#e9b509}{P(A)}} \qquad \textcolor{#0087c1}{P_B(A)} = \frac{\textcolor{#cc071e}{P(A \cap B)}}{\textcolor{#e9b509}{P(B)}}\]
Die bedingten Wahrscheinlichkeiten ergeben sich bei einer Vierfeldertafel als Quotient aus dem Eintrag einer inneren Zelle und dem Eintrag einer Randzelle.
\[P_{\overline{E}}(H) = \frac{P(\overline{E} \cap H)}{P(H)} = \frac{\frac{273}{630}}{\frac{420}{630}} = \frac{273}{420} = \frac{13}{20} = 0{,}65 = 65\,\%\]
