Gegeben sind die in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(f\) und \(g\). Der Graph von \(f\) ist symmetrisch bezüglich der \(y\)-Achse, der Graph von \(g\) ist symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs. Beide Graphen haben einen Hochpunkt im Punkt \((2|1)\).

1. Geben Sie für die Graphen von \(f\) und \(g\) jeweils die Koordinaten und die Art eines weiteren Extrempunkts an.
   (2 BE)
2. Untersuchen Sie die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(h\) mit \(h(x) = f(x) \cdot \left( g(x) \right)^3\) im Hinblick auf eine mögliche Symmetrie ihres Graphen.
   (3 BE)

Lösung zu Aufgabe A5 

a) Koordinaten und Art eines weiteren Extrempunkts der Graphen von \(f\) und \(g\)

Veranschaulichung durch eine Skizze: Beispiele für mögliche Graphen von \(f\) und \(g\) (nicht verlangt)

Ein weiterer Extrempunkt des Graphen von \(\textcolor{#0087c1}{f}\) ist der Hochpunkt \(\textcolor{#0087c1}{H(-2|1)}\).

Ein weiterer Extrempunkt des Graphen von \(\textcolor{#cc071e}{g}\) ist der Tiefpunkt \(\textcolor{#cc071e}{T(-2|-1)}\).

b) Untersuchung des Graphen von \(h\) auf eine mögliche Symmetrie

\[h(x) = f(x) \cdot \left(g(x)\right)^3; \; D_h = \mathbb R\]

Es wird \(h(-x)\) formuliert und überprüft, ob \(h(-x) = h(x)\) oder \(h(-x) = -h(x)\) oder keine der beiden Beziehungen zutrifft.
Dabei gilt \(f(-x) = f(x)\) wegen der Symmetrie von \(G_f\) bezüglich der \(y\)-Achse und \(g(-x) = -g(x)\) wegen der Symmetrie von \(G_g\) bezüglich des Koordinatenursprungs (vgl. Angabe).

\[\begin{align*}h(-x) &= f(-x) \cdot \left(g(-x)\right)^3 &&|\;f(-x) = f(x); \; g(-x) = -g(x) \\[0.8em] &= f(x) \cdot \left(-g(x)\right)^3 \\[0.8em] &= f(x) \cdot \left(-g(x)^3\right) \\[0.8em] &= -f(x) \cdot \left(g(x)\right)^3 \\[0.8em] &= -h(x)\end{align*}\]

Da \(h(-x) = -h(x)\) gilt, ist der Graph der Funktion \(h\) symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs.

(Vgl. Mathematik Abiturskript Bayern G9 - 1 Analysis, 1.1.8 Symmetrie von Funktionsgraphen)

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