Die Abbildung zeigt den Würfel \(ABCDEFGH\) mit \(A(3|2|-1)\) und \(E(1|1|1)\).
Zeigen Sie, dass der Würfel die Kantenlänge \(3\) besitzt.
(2 BE)
Lösung zu Teilaufgabe a
Beispielsweise entspricht die Länge des Vektors \(\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{AE}}\) der Kantenlänge des Würfels.
Der Betrag eines Vektors \(\overrightarrow{a}\) bedeutet die Länge eines zu \(\overrightarrow{a}\) gehörenden Repräsentanten. Schreibweise: \(\vert \overrightarrow{a}\vert\)
Für \(\smash{\overrightarrow{a} = \begin{pmatrix} a_1\\a_2 \end{pmatrix}}\vphantom{\begin{pmatrix} a_1\\a_2\\a_3 \end{pmatrix}}\) gilt \(\vert \overrightarrow{a}\vert = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}\)
Für \(\overrightarrow{a} = \begin{pmatrix} a_1\\a_2\\a_3 \end{pmatrix}\) gilt \(\vert \overrightarrow{a}\vert = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}\)
\(A(3|2|-1)\), \(E(1|1|1)\)
\[\begin{align*}\vert \textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{AE}} \vert &= \vert \overrightarrow{E} - \overrightarrow{A} \vert = \left| \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3\\2\\-1 \end{pmatrix} \right| = \left| \begin{pmatrix} -2\\-1\\2 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \sqrt{(-2)^2+(-1)^2+2^2} = \sqrt{9} = 3 \end{align*}\]
