Ist \(g'\) die erste Ableitungsfunktion einer in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(g\), so gilt bekanntlich \(\displaystyle \int_u^v g'(x) \cdot e^{g(x)}dx = \left[ e^{g(x)} \right]_u^v\). Berechnen Sie damit den Wert des Terms \(\displaystyle \int_0^1 f(x) dx\).
(3 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1d
Um für die Berechnung des Integrals \(\displaystyle \int_0^1 f(x) dx\) die Beziehung \(\displaystyle \int_u^v g'(x) \cdot e^{g(x)}dx = \left[ e^{g(x)} \right]_u^v\) anwenden zu können, bedarf es einer Umformung des Funktionsterms von \(f\).
\[\int_u^v \textcolor{#cc071e}{g'(x)} \cdot e^{\textcolor{#0087c1}{g(x)}}dx = \left[ e^{\textcolor{#0087c1}{g(x)}} \right]_u^v\]
\[f(x) = x \cdot e^{-\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}} = (-1) \cdot \textcolor{#cc071e}{(-x)} \cdot e^{\textcolor{#0087c1}{-\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}}}\]
Berechnung bestimmter Integrale
\[\int_{a}^{b} f(x)\,dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)\]
Dabei ist \(F\) eine beliebige Stammfunktion zu \(f\).
(vgl. Merkhilfe)
Eigenschaften des bestimmten Integrals - Integrationsregeln
Identische Integrationsgrenzen:
\[\int_{a}^{a} f(x)\,dx = 0\]
Faktorregel:
\(\displaystyle \int_{a}^{b} c \cdot f(x)\,dx = c \cdot \int_{a}^{b} f(x)\,dx\) mit \(c \in \mathbb R\)
Summenregel:
\[\int_{a}^{b} \left[f(x) \pm g(x) \right] dx = \int_{a}^{b}f(x)\,dx \pm \int_{a}^{b}g(x)\,dx\]
Vertauschungsregel:
\[\int_{a}^{b}f(x)\,dx = -\int_{b}^{a}f(x)\,dx\]
Zerlegung in Teilintervalle:
\(\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx = \int_{a}^{c}f(x)\,dx + \int_{c}^{b}f(x)\,dx\) mit \(a \leq c \leq b\)
\[\begin{align*} \int_0^1 f(x)dx &= \int_0^1 (-1) \cdot \textcolor{#cc071e}{(-x)} \cdot e^{\textcolor{#0087c1}{-\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}}} \\[0.8em] &= -\int_0^1 \textcolor{#cc071e}{(-x)} \cdot e^{\textcolor{#0087c1}{-\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}}} &&| \; \int_{a}^{b}f(x)\,dx = -\int_{b}^{a}f(x)\,dx \;\text{(optional)}\\[0.8em] &= \int_1^0 \textcolor{#cc071e}{(-x)} \cdot e^{\textcolor{#0087c1}{-\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}}} &&| \; \int_u^v \textcolor{#cc071e}{g'(x)} \cdot e^{\textcolor{#0087c1}{g(x)}}dx = \left[ e^{\textcolor{#0087c1}{g(x)}} \right]_u^v \\[0.8em] &= \left[ e^{\textcolor{#0087c1}{-\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}}} \right]_\textcolor{#e9b509}{1}^\textcolor{#e9b509}{0} \\[0.8em] &= e^{-\frac{1}{2} \cdot \textcolor{#e9b509}{0}^2 + \frac{1}{2}} - e^{-\frac{1}{2} \cdot \textcolor{#e9b509}{1}^2 + \frac{1}{2}} \\[0.8em] &= e^{\frac{1}{2}} - e^{0} &&| \; a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}; \; a^0 = 1 \\[0.8em] &= \sqrt{e} - 1 \end{align*}\]
