Eigenschaften des bestimmten Integrals - Integrationsregeln

Es wird nun ein bestimmtes Bohrloch im Wasserspeicher betrachtet. Durch das Abfließen verringert sich das Volumen des Wassers im Speicher in Abhängigkeit von der Zeit. Die Funktion \(g \colon t \mapsto 0{,}25t - 25\) mit \(0 \leq t \leq 100\) beschreibt modellhaft die zeitliche Entwicklung dieser Volumenänderung. Dabei ist \(t\) die seit der Fertigstellung des Bohrlochs vergangene Zeit in Sekunden und \(g(t)\) die momentane Änderungsrate des Wasservolumens im Speicher in Litern pro Sekunde.

Berechnen Sie das Volumen des Wassers in Litern, das innerhalb der ersten Minute nach Fertigstellung des Bohrlochs aus dem Behälter abfließt.

(4 BE)

Ist \(g'\) die erste Ableitungsfunktion einer in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(g\), so gilt bekanntlich \(\displaystyle \int_u^v g'(x) \cdot e^{g(x)}dx = \left[ e^{g(x)} \right]_u^v\). Berechnen Sie damit den Wert des Terms \(\displaystyle \int_0^1 f(x) dx\).

(3 BE)