Betrachtet werden die Schar der Geraden \(g_k \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 0\\0\\10 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1+k\\1-k\\-1 \end{pmatrix}\) mit \(\lambda \in \mathbb R\) und \(k \in \mathbb R\) sowie der Punkt \(C(9|1|5)\).
Begründen Sie, dass jede Gerade der Schar in \(E\) liegt, und bestimmen Sie denjenigen Wert \(k\), für den der Punkt \(C\) auf \(g_k\) liegt.
(zur Kontrolle: \(k = 0{,}8\))
(4 BE)
Lösung zu Teilaufgabe c
Begründung, dass jede Gerade der Schar \(g_k\) in der Ebene \(E\) liegt
Es ist einmal zu zeigen, dass der Normalenvektor von \(E\) und der Richtungsvektor von \(g_k\) zueinander senkrecht sind. Das heißt, das Skalarprodukt der Vektoren muss null sein.
Außerdem ist nachzuweisen, dass der Aufpunkt der Gleichung von \(g_k\) in der Ebene \(E\) liegt.
Anwendung des Skalarprodukts:
Orthogonale (zueinander senkrechte) Vektoren (vgl. Merkhilfe)
\[\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b} \; \Leftrightarrow \; \overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} \quad (\overrightarrow{a} \neq \overrightarrow{0},\; \overrightarrow{b} \neq \overrightarrow{0})\]
\(E \colon x_1+x_2+2x_3 - 20 = 0\) mit \(\textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix} 1\\1\\2 \end{pmatrix}}\) (vgl. Teilaufgabe b)
\[g_k \colon \overrightarrow{X} = \textcolor{#e9b509}{\begin{pmatrix} 0\\0\\10 \end{pmatrix}} + \lambda \cdot \textcolor{#cc071e}{\begin{pmatrix} 1+k\\1-k\\-1 \end{pmatrix}}, \; \lambda \in \mathbb R\]
Skalarprodukt
Unter dem Skalarprodukt \(\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b}\) zweier Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) versteht man das Produkt aus den Beträgen der beiden Vektoren und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels \(\varphi\).
\[\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} = \vert \overrightarrow{a} \vert \cdot \vert \overrightarrow{b} \vert \cdot \cos{\varphi} \quad (0^{\circ} \leq \varphi \leq 180^{\circ})\]
Berechnung eines Skalarprodukts im \(\boldsymbol{\mathbb R^{3}}\) (vgl. Merkhilfe)
\[\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{pmatrix} = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + a_{3}b_{3}\]
\[\textcolor{#0087c1}{\begin{pmatrix} 1\\1\\2 \end{pmatrix}} \circ \textcolor{#cc071e}{\begin{pmatrix} 1+k\\1-k\\-1 \end{pmatrix}} = 1+k + 1-k -2 = 0\]
Also verläuft jede Gerade der Schar \(g_k\) parallel zur Ebene \(E\).
Der Aufpunkt der Gleichung von \(g_k\) ist der Punkt \(\textcolor{#e9b509}{S(0|0|10)}\), der laut Angabe in der Ebene \(E\) liegt.
Somit liegt jede Gerade der Schar \(g_k\) in der Ebene \(E\).
Wert von \(k\), für den der Punkt \(C\) auf \(g_k\) liegt
Der Ortsvektor von Punkt \(C(9|1|5)\) muss die Gleichung von \(g_k\) erfüllen.
\[g_k \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 0\\0\\10 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1+k\\1-k\\-1 \end{pmatrix}, \; \lambda \in \mathbb R\]
\[\begin{pmatrix} 9\\1\\5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\0\\10 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1+k\\1-k\\-1 \end{pmatrix}\]
Koordinatenweise gelesen, ergibt die Vektorgleichung ein lineares Gleichungssystem.
\[\Rightarrow \; \begin{cases} \;\; \, \text{I} \quad 9 = \lambda \cdot (1+k) \\[0.8em] \,\, \text{II} \quad 1 = \lambda \cdot (1-k) \\[0.8em] \text{III} \quad 5 = 10 - \lambda \; \Leftrightarrow \; \lambda = 5\end{cases}\]
\(\lambda = 5\) in \(\text{I}\) und \(\text{II}\) eingesetzt:
\[\Rightarrow \; \begin{cases} \;\; \, \text{I} \quad 9 = 5 \cdot (1+k)\; \Leftrightarrow \; 9 = 5 + 5k \; \Leftrightarrow \; k = 0{,}8 \\[0.8em] \,\, \text{II} \quad 1 = 5 \cdot (1-k)\; \Leftrightarrow \; 1 = 5 - 5k\; \Leftrightarrow \; k = 0{,}8\end{cases}\]
Für \(k = 0{,}8\) liegt der Punkt \(C\) auf \(g_k\).
