Der Supermarkt muss für jede Eintrittskarte nur zehn Euro an den Freizeitpark bezahlen. Damit ist bei der Spielaktion ein finanzieller Überschuss zu erwarten, der an den örtlichen Kindergarten gespendet werden soll. Ermitteln Sie den zu erwartenden Überschuss, wenn man davon ausgeht, dass das Spiel insgesamt 6000-mal durchgeführt wird.
(3 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 2c
1. Lösungsansatz: Zufallsgröße \(X\,\colon\enspace\)„Auszahlungsbetrag in Euro"
Zufallsgröße \(X\,\colon\enspace\)„Auszahlungsbetrag pro Spiel in Euro"
Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße \(X\):
| Nummer | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| \(X = x_{i}\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(10\) |
| \(P(X = x_{i})\) | \(\displaystyle \frac{1}{15}\) | \(\displaystyle \frac{2}{15}\) | \(\displaystyle \frac{1}{5}\) | \(\displaystyle \frac{4}{15}\) | \(\displaystyle \frac{1}{3}\) |
Erwartungswert der Zufallsgröße \(X\) berechnen:
Ist \(X\) eine Zufallsgröße, deren mögliche Werte \(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}\) sind, dann gilt:
Erwartungswert \(\boldsymbol{\mu}\) einer Zufallsgröße \(\boldsymbol{X}\)
\[\begin{align*}\mu = E(X) &= \sum \limits_{i = 1}^{n} x_{i} \cdot P(X = x_i) \\[0.8em] &= x_{1} \cdot P(X = x_1) + x_{2} \cdot P(X = x_2) + \cdots + x_{n} \cdot P(X = x_n) \end{align*}\]
Der Erwartungswert \(\mu = E(X)\) gibt den Mittelwert einer Zufallsgröße \(X\) pro Versuch an, der bei sehr häufiger Durchführung eines Zufallsexperiments (auf lange Sicht) zu erwarten ist.
\[E(X) = 1 \cdot \frac{1}{15} + 2 \cdot \frac{2}{15} + 3 \cdot \frac{1}{5} + 4 \cdot \frac{4}{15} + 10 \cdot \frac{1}{3} = 5\frac{1}{3}\]
Im Mittel beträgt der Auszahlungsbetrag pro Spiel \(5\frac{1}{3}\) €. Bei einem Einsatz von 6 € pro Spiel erzielt der Supermarkt mit dem Gewinnspiel im Mittel pro Spiel \(\frac{2}{3}\) €. Bei 6000 Spielen kann somit ein Überschuss in Höhe von \(6000 \cdot \frac{2}{3}\) € = \(4000\) € erwartet werden.
2. Lösungsansatz: Zufallsgröße \(Y\,\colon\enspace\)„Überschuss in Euro"
Zufallsgröße \(Y\,\colon\enspace\)„Überschuss pro Spiel in Euro"
\[\begin{align*}\text{„Überschuss"} &= \text{„Einsatz"} - \text{„Auszahlung"} \\[0.8em] y_{i} &= 6 - x_{i}\end{align*}\]
Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße \(Y\):
| Nummer | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| \(Y = y_{i}\) | \(5\) | \(4\) | \(3\) | \(2\) | \(-4\) |
| \(P(Y = y_{i})\) | \(\displaystyle \frac{1}{15}\) | \(\displaystyle \frac{2}{15}\) | \(\displaystyle \frac{1}{5}\) | \(\displaystyle \frac{4}{15}\) | \(\displaystyle \frac{1}{3}\) |
Erwartungswert der Zufallsgröße \(Y\) berechnen:
Ist \(X\) eine Zufallsgröße, deren mögliche Werte \(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}\) sind, dann gilt:
Erwartungswert \(\boldsymbol{\mu}\) einer Zufallsgröße \(\boldsymbol{X}\)
\[\begin{align*}\mu = E(X) &= \sum \limits_{i = 1}^{n} x_{i} \cdot P(X = x_i) \\[0.8em] &= x_{1} \cdot P(X = x_1) + x_{2} \cdot P(X = x_2) + \cdots + x_{n} \cdot P(X = x_n) \end{align*}\]
Der Erwartungswert \(\mu = E(X)\) gibt den Mittelwert einer Zufallsgröße \(X\) pro Versuch an, der bei sehr häufiger Durchführung eines Zufallsexperiments (auf lange Sicht) zu erwarten ist.
\[E(Y) = 5 \cdot \frac{1}{15} + 4 \cdot \frac{2}{15} + 3 \cdot \frac{1}{5} + 2 \cdot \frac{4}{15} + (-4) \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\]
Im Mittel beträgt der Überschuss pro Spiel \(\frac{2}{3}\) €. Bei 6000 Spielen kann somit ein Überschuss in Höhe von \(6000 \cdot \frac{2}{3}\) € = \(4000\) € erwartet werden.
