Abiturlösungen Mathematik Bayern 2019

Aufgaben mit ausführlichen Lösungen

Das Baumdiagramm in Abbildung 2 gehört zu einem Zufallsexperiment mit den stochastisch unabhängigen Ereignissen \(A\) und \(B\). Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses \(B\).

Abbildung 2 Aufgabe 3 Stochastik 2 Mathematik Abitur Bayern 2019 AAbb. 2

 

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 3

 

Nach der zweiten Pfadregel gilt:

Baumdiagramm - Pfadregeln

Pfadregeln

Verzweigungsregel (Knotenregel)

Die Summe der Wahrscheinlichkeiten an den Ästen, die von einem Knoten ausgehen, ist gleich eins.

1. Pfadregel (Produktregel)

Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades, der zu dem Ergebnis führt.

2. Pfadregel (Summenregel)

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse, die zu diesem Ereignis gehören.

\[P(B) = P(A \cap B) + P(\overline{A} \cap B)\]

 

Nach der Verzweigungsregel (Knotenregel) gilt:

 

\[\textcolor{#0087c1}{P(A)} = 1 - P(\overline{A}) = 1 - \frac{2}{3} = \textcolor{#0087c1}{\frac{1}{3}}\]

 

Wegen der stochastischen Unabhängigkeit der Ereignisse \(A\) und \(B\) treten an den Pfaden der zweiten Stufe des Baumdiagramms in Abbildung 2 die gleichen Wahrscheinlichkeiten auf.

Stochastische Unabhängigkeit

Stochastische Unabhängigkeit

Zwei Ereignisse \(A\) und \(B\) heißen stochastisch unabhängig, wenn

\(P(A) \cdot P(B) = P(A \cap B)\) gilt. (vgl. Merkhilfe) *

Andernfalls heißen die Ereignisse \(A\) und \(B\) stochastisch abhängig.

Sind zwei Ereignisse \(A\) und \(B\) stochastisch unabhängig, beeinflusst das Eintreten des Ereignisses \(A\) nicht das Eintreten des Ereignisses \(B\) und umgekehrt.

* Oder wenn

\(P(\overline{A}) \cdot P(B) = P(\overline{A} \cap B)\) bzw.

\(P(A) \cdot P(\overline{B}) = P(A \cap \overline{B})\) bzw.

\(P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B}) = P(\overline{A} \cap \overline{B})\) gilt.

Baumdiagramm in Abbildung 2 ergänzt um die Wahrscheinlichkeit P(A) sowie die unbekannten Wahrscheinlichkeiten p und 1 - p der zweiten Stufen

 

Mithilfe der ersten Pfadregel folgt:

Baumdiagramm - Pfadregeln

Pfadregeln

Verzweigungsregel (Knotenregel)

Die Summe der Wahrscheinlichkeiten an den Ästen, die von einem Knoten ausgehen, ist gleich eins.

1. Pfadregel (Produktregel)

Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades, der zu dem Ergebnis führt.

2. Pfadregel (Summenregel)

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse, die zu diesem Ereignis gehören.

\[\begin{align*}\frac{2}{3} \cdot \textcolor{#cc071e}{p} &= \frac{2}{15} &&| \cdot \frac{3}{2} \\[0.8em] \textcolor{#cc071e}{p} &= \frac{\cancel{2}}{15} \cdot \frac{3}{\cancel{2}} \\[0.8em] &= \textcolor{#cc071e}{\frac{1}{5}}\end{align*}\]

 

Somit ergibt sich:

 

\[\begin{align*}P(B) &= P(A \cap B) + P(\overline{A} \cap B) \\[0.8em] &= \textcolor{#0087c1}{\frac{1}{3}} \cdot \textcolor{#cc071e}{\frac{1}{5}} + \frac{2}{15} \\[0.8em] &= \frac{1}{15} + \frac{2}{15} \\[0.8em] &= \frac{3}{15} \\[0.8em] &= \frac{1}{5} \end{align*}\]