Ein Telekommunikationsunternehmen möchte neue Kunden gewinnen. Dazu schickt es an zufällig ausgewählte Haushalte Werbematerial. Im Folgenden soll davon ausgegangen werden, dass die angeschriebenen Haushalte unabhängig voneinander mit einer Wahrscheinlichkeit von jeweils 20 % noch nicht über einen schnellen Internetanschluss verfügen.
Ermitteln Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter 10 angeschriebenen Haushalten
● mindestens zwei noch nicht über einen schnellen Internetanschluss verfügen.
● genau acht bereits über einen schnellen Internetanschluss verfügen.
(4 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 2a
Da die 10 angeschriebenen Haushalte unabhängig voneinander mit einer konstanten Wahrscheinlichkeit von 20 % noch nicht über einen Internetanschluss verfügen und nur die beiden sich gegenseitig ausschließenden Ereignisse „verfügt über einen schnellen Internetanschluss" und „verfügt nicht über einen schnellen Internetanschluss" betrachtet werden, liegt eine Bernoullikette der Länge \(n = 10\) vor.
Bernoulli-Experiment, Bernoulli-Kette
Ein Zufallsexperiment, bei dem nur zwei verschiedene sich gegenseitig ausschließende Ereignisse \(A\) und \(\overline{A}\) mit konstanten Wahrscheinlichkeiten eintreten können, heißt Bernoulli-Experiment.
Das Eintreten des Ereignisses \(A\) wird als Treffer und das Eintreten des Gegeneignisses \(\overline{A}\) wird als Niete bezeichnet. Die Trefferwahrscheinlichkeit \(P(A)\) bezeichnet man mit \(\boldsymbol{p}\) und die Wahrscheinlichkeit für eine Niete mit \(q = 1- p\). Wird ein Bernoulli-Experiment \(n\)-mal wiederholt, spricht man von einer Bernoulli-Kette der Länge \(\boldsymbol{n}\). Dabei müssen die einzelnen Wiederholungen unabhängig voneinander erfolgen. Das heißt, die Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) bleibt konstant.
Es sei \(X\) die Zufallsgröße, welche die Anzahl der Haushalte beschreibt, die noch nicht über einen schnellen Internetanschluss verfügen.
Binomialverteilte Zufallsgröße
Für eine Zufallsgröße \(X\), welche bei einer Bernoulli-Kette der Länge \(n\) die Anzahl der Treffer \(k \in \{0,1,\dots,n\}\) mit der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) angibt, gilt:
Binomialverteilung (vgl. Merkhilfe)
\[P_{p}^{n}(X = k) = B(n;p;k) = \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k} \quad (0 \leq k \leq n)\]
Eine Binomialverteilung ist durch die Parameter \(n\) und \(p\) eindeutig bestimmt und wird durch das Symbol \(B(n:p)\) gekennzeichnet. \(X\) heißt binomialverteilt nach \(B(n;p)\).
Voraussetzung für eine Binomialverteilung
Ein Zufallsexperiment, bei dem nur zwei sich gegenseitig ausschließende Ereignisse \(A\) und \(\overline{A}\) mit konstanten Wahrscheinlichkeiten eintreten können (Bernoulli-Experiment).
Die Zufallsgröße \(X\) ist nach \(B(10;0{,}2)\) binomialverteilt.
Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter 10 angeschriebenen Haushalten mindestens zwei noch nicht über einen schnellen Internetanschluss verfügen
\(n = 10; \enspace p = 0{,}2; \enspace X \geq 2\)
Betrachten des Gegenereignisses (mindestens \(k\) Treffer)
Kumulative Wahrscheinlichkeiten der Form \(P(X \geq k)\) lassen sich im Stochastischen Tafelwerk (ST) nicht nachschlagen. Die Betrachtung des Gegenereignisses ermöglicht das Verwenden des Stochastischen Tafelwerks:
\[P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k - 1)\]
Die Kumulative Verteilungsfunktion \(F_{p}^{n}(k) = P^n_p(X \leq k) = \sum \limits_{i\;=\;0}^{k} B(n;p;i)\) ist für bestimmte Werte der Parameter \(p\) und \(n\) in der rechten Spalte des Stochastischen Tafelwerks mit Abiturzulassung tabellarisiert.
Mithilfe des Stochastischen Tafelwerks (ST) ergibt sich:
Kumulative Verteilungsfunktion einer nach \(B(n, p)\) binomialverteilten Zufallsgröße \(X\)
\[F^n_p (k) = P^n_p (X \leq k) = \sum_{i \, = \, 0}^k B(n; p; i) = \sum_{i \, = \, 0}^k \binom{n}{i} \cdot p^i \cdot (1 - p)^{n - i}\]
Wobei \(n\) die Länge der Bernoullikette, \(p\) die Trefferwahrscheinlichkeit für das Eintreten des betrachteten Ereignisses und \(k \in \{0,1,\dots,n\}\) die Anzahl der Treffer ist.
Das Stochastische Tafelwerk (ST) listet die Werte der Kumulativen Verteilungsfunktion jeweils in der rechten Spalte einer betrachteten Tabelle der Parameter \(n\) und \(p\).
\[\begin{align*} P_{0{,}2}^{10}(X \geq 2) &= 1 - P_{0{,}2}^{10}(X \leq 1) \\[0.8em] &= 1 - \sum \limits_{I\,=\,0}^{1}B(10;0{,}2;i) \\[0.8em] &\overset{\text{ST}}{=} 1 - 0{,}37581 \\[0.8em] &= 0{,}62419 \approx 62{,}4\,\% \end{align*}\]
Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter 10 angeschriebenen Haushalten genau acht bereits über einen schnellen Internetanschluss verfügen
Entspricht der Wahrscheinlichkeit, dass unter 10 angeschrieben Haushalten genau zwei noch nicht über einen schnellen Internetanschluss verfügen.
\(n = 10; \enspace p = 0{,}2; \enspace X = 2\)
Stochastisches Tafelwerk (ST) verwenden:
\[\begin{align*} P_{0{,}2}^{10}(X = 2) &= B(10;0{,}2;2) \\[0.8em] &\overset{\text{ST}}{=} 0{,}30199 \approx 30{,}2\,\% \end{align*}\]