Die vier Seiten eines regelmäßigen Tetraeders sind mit den Zahlen 1, 2, 3 und 4 durchnummeriert. Das Tetraeder wird fünfmal geworfen.
Geben Sie im Sachzusammenhang ein Ereignis an, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem Term \(\left( \dfrac{3}{4} \right)^5\) berechnet werden kann, und begründen Sie Ihre Angabe.
(2 BE)
Lösung zu Teilaufgabe a
Z.B. Ereignis: „Es wird nullmal die Zahl 1 erzielt."
Begründung: Die Wahrscheinlichkeit dafür, bei jedem der fünf Würfe nicht die Zahl 1 zu erzielen, beträgt jeweils \(\dfrac{3}{4}\).
Ausführliche Erklärung (nicht verlangt)
Das fünfmalige Werfen des Tetraders lässt sich als Bernoulli-Kette der Länge \(\textcolor{#0087c1}{n = 5}\) auffassen.
Wenn nur darauf geachtet wird, ob beim Werfen immer eine bestimmte Zahl der Zahlen 1, 2, 3 oder 4 erzielt wird oder nicht, ist jeder der fünf Würfe ein Bernoulli-Experiment, wobei die Trefferwahrscheinlichkeit konstant \(\textcolor{#cc071e}{p = \dfrac{1}{4}}\) beträgt.
Bernoulli-Experiment, Bernoulli-Kette
Ein Zufallsexperiment, bei dem nur zwei verschiedene sich gegenseitig ausschließende Ereignisse \(A\) und \(\overline{A}\) mit konstanten Wahrscheinlichkeiten eintreten können, heißt Bernoulli-Experiment.
Das Eintreten des Ereignisses \(A\) wird als Treffer und das Eintreten des Gegeneignisses \(\overline{A}\) wird als Niete bezeichnet. Die Trefferwahrscheinlichkeit \(P(A)\) bezeichnet man mit \(\boldsymbol{p}\) und die Wahrscheinlichkeit für eine Niete mit \(q = 1- p\). Wird ein Bernoulli-Experiment \(n\)-mal wiederholt, spricht man von einer Bernoulli-Kette der Länge \(\boldsymbol{n}\). Dabei müssen die einzelnen Wiederholungen unabhängig voneinander erfolgen. Das heißt, die Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) bleibt konstant.
Es sei \(X\) die Zufallsgröße, welche die Anzahl beschreibt, wie oft die Zahl 1 erzielt wird.
Die Zufallsgröße \(X\) ist nach \(B\big(\textcolor{#0087c1}{5};\textcolor{#cc071e}{\frac{1}{4}}\big)\) binomialverteilt.
Binomialverteilte Zufallsgröße
Für eine Zufallsgröße \(X\), welche bei einer Bernoulli-Kette der Länge \(n\) die Anzahl der Treffer \(k \in \{0,1,\dots,n\}\) mit der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) angibt, gilt:
Binomialverteilung (vgl. Merkhilfe)
\[P_{p}^{n}(X = k) = B(n;p;k) = \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k} \quad (0 \leq k \leq n)\]
Eine Binomialverteilung ist durch die Parameter \(n\) und \(p\) eindeutig bestimmt und wird durch das Symbol \(B(n:p)\) gekennzeichnet. \(X\) heißt binomialverteilt nach \(B(n;p)\).
Voraussetzung für eine Binomialverteilung
Ein Zufallsexperiment, bei dem nur zwei sich gegenseitig ausschließende Ereignisse \(A\) und \(\overline{A}\) mit konstanten Wahrscheinlichkeiten eintreten können (Bernoulli-Experiment).
Dann errechnet sich die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „Es wird nullmal die Zahl 1 erzielt" wie folgt:
\[\begin{align*}P_{\textcolor{#cc071e}{\frac{1}{4}}}^{\textcolor{#0087c1}{5}}(X = \textcolor{#e9b509}{0}) &= \binom{\textcolor{#0087c1}{5}}{\textcolor{#e9b509}{0}} \cdot \left(\textcolor{#cc071e}{\frac{1}{4}}\right)^{\textcolor{#e9b509}{0}} \cdot \left(1-\textcolor{#cc071e}{\frac{1}{4}}\right)^{\textcolor{#0087c1}{5} \,-\, \textcolor{#e9b509}{0}} &&| \; \binom{n}{0} = 1; \; a^0 = 1 \\[0.8em] &= 1 \cdot 1 \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^5 \\[0.8em] &=\left( \frac{3}{4} \right)^5\end{align*}\]
