Auf der Strecke \([AB]\) gibt es einen Punkt \(D\), der von \(B\) dreimal so weit entfernt ist wie von \(A\). Bestimmen Sie die Koordinaten von \(D\).
(2 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1b
Vektoraddition
![Der Punkt D teilt die Strecke [AB] im Verhältnis 1 : 3. Der Punkt D teilt die Strecke [AB] im Verhältnis 1 : 3.](/images/stories/B2017_PT_A_G_1/B2017_PT_A_G_1_1b.png)
Planskizze: Der Punkt \(D\) teilt die Strecke \([AB]\) im Verhältnis 1 : 3.
Der Ortsvektor \(\overrightarrow{D}\) lässt sich durch Vektoraddition wie folgt berechnen:
\(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix}\) (vgl. Teilaufgabe 1a)
\[\begin{align*}\overrightarrow{D} &= \overrightarrow{A} + \frac{1}{4} \cdot \overrightarrow{AB} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix} + \frac{1}{4} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix} \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad D(3|1|-6)\]
oder
\[\begin{align*}\overrightarrow{D} &= \overrightarrow{B} - \frac{3}{4} \cdot \overrightarrow{AB} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ -12 \end{pmatrix} - \frac{3}{4} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix} \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad D(3|1|-6)\]