Zur Anmeldung auf der Website des Streamingdiensts ist ein persönliches Kennwort erforderlich. Für das Kennwort können 80 verschiedene Zeichen verwendet werden: je 26 Groß- und Kleinbuchstaben, 10 Ziffern sowie 18 Sonderzeichen.
Einige Abonnenten verwenden ein Kennwort, das genau acht Zeichen lang ist und nur aus Kleinbuchstaben besteht. Dabei können Zeichen mehrfach vorkommen. Zeigen Sie, dass für diese Abonnenten weniger als ein Tausendstel aller möglichen Kennwörter infrage kommen, die aus genau acht Zeichen bestehen.
(2 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 3a
\[\frac{26^8}{80^8} \approx 1{,}2 \cdot 10^{-4} = 0{,}00012 < 0{,}001\]
Ausführliche Erklärung (nicht verlangt)
Die Aufgabenstellung entspricht dem Urnenmodell „Ziehen mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge".
Grundformeln der Kombinatorik
Viele mehrstufige Zufallsexperimente können mithilfe sogenannter Urnenmodelle veranschaulicht werden. Aus einer Urne mit \(\boldsymbol{n}\) unterscheidbaren Kugeln wird \(\boldsymbol{k}\)-mal eine Kugel gezogen.
Die Modelle lassen sich in die Fälle mit/ohne Zurücklegen bzw. mit/ohne Beachtung der Reihenfolge der gezogenen Kugeln unterteilen.
\[n^{k}\]
\(n\): Anzahl der Unterscheidungsmerkmale
\(k\): Anzahl der Wiederholungen
Beispiel:
Wieviele Möglichkeiten gibt es, vier Wände eines Kinderzimmers in den Farben Seesternorange, Frochschgrün, Libellenblau, Käferrot oder Bienengelb zu streichen?
\(\textcolor{#cc071e}{n = 5}\), da fünf verschiedene Farben zur Verfügung stehen.
\(\textcolor{#0087c1}{k = 4}\), da viermal eine Farbe zu wählen ist.
Somit \(\textcolor{#cc071e}{5}^{\textcolor{#0087c1}{4}} = 625\) Möglichkeiten
- nicht abiturrelevant -
\(n \cdot (n - 1) \cdot ... \cdot (n - k + 1)\)
Spezialfall: \(n!\) für \(k = n\) (Permutationen)
\(n\): Anzahl der Unterscheidungsmerkmale
\(k\): Anzahl der Wiederholungen
Beispiel:
Wieviele Möglichkeiten gibt es, vier Wände eines Kinderzimmers in den Farben Seesternorange, Frochschgrün, Libellenblau, Käferrot oder Bienengelb zu streichen, wenn jede Wand eine andere Farbe bekommen soll?
\(\textcolor{#cc071e}{n = 5}\), da fünf verschiedene Farben zur Verfügung stehen.
\(\textcolor{#0087c1}{k = 4}\), da viermal eine Farbe zu wählen ist.
Für die erste Wand stehen fünf Farben zur Auswahl, für die zweite Wand noch vier Farben, für die dritte Wand noch drei Farben und für die vierte Wand schließlich nur noch zwei Farben.
Somit \(\underbrace{\textcolor{#cc071e}{5} \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2}_{\textcolor{#0087c1}{k\,=\,4}} = 120\) Möglichkeiten
\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} = \frac{n \cdot (n - 1) \cdot ... \cdot (n - k + 1)}{k!}\]
Der Binomialkoeffizient \(\displaystyle \binom{n}{k}\) gibt an, wie viele Möglichkeiten es gibt, aus einer Menge mit \(n\) Elementen eine Teilmenge mit \(k\) Elementen zu bilden (vgl. Merkhilfe).
Beispiel:
Von 30 Schüler*innen können acht Schüler*innen an einer Studienfahrt teilnehmen. Die Teilnehmer*innen werden per Los entschieden. Wieviele mögliche Gruppierungen gibt es?
\(n = 30\)
\(k = 8\)
Somit \(\displaystyle \binom{30}{8} = 5852925\) mögliche Gruppen aus jeweils acht Schüler*innen.
Für ein 8 Zeichen langes Kennwort, wobei pro Zeichen 80 verschiedenen Zeichen verwendet werden können, gibt es \(\textcolor{#cc071e}{80}^{\textcolor{#0087c1}{8}}\) Möglichkeiten.
Für ein 8 Zeichen langes Kennwort, das nur aus 26 Kleinbuchstaben besteht, gibt es \(\textcolor{#cc071e}{26}^{\textcolor{#0087c1}{8}}\) Möglichkeiten.
Der Anteil möglicher Kennwörter, die genau acht Zeichen lang sind und nur aus Kleinbuchstaben bestehen, an allen möglichen acht Zeichen langen Kennwörtern, beträgt dann:
\[\frac{\textcolor{#cc071e}{26}^{\textcolor{#0087c1}{8}}}{\textcolor{#cc071e}{80}^{\textcolor{#0087c1}{8}}} \approx 1{,}2 \cdot 10^{-4} = 0{,}00012 < 0{,}001\]
Somit stehen den Abonnenten, die eine Kennwort wählen, das genau acht Zeichen lang ist und nur aus Kleinbuchstaben besteht, weniger als ein Tausendstel der möglichen Kennwörter zur Verfügung.
