Gegeben sind die Punkte \(A(17|-10|0)\), \(B(17|20|0)\), \(C(2|4|8)\) und \(D(2|-10|8)\). Es gilt \(\overline{AB} \parallel \overline{CD}\), somit ist das Viereck \(ABCD\) ein Trapez.
Zeigen Sie, dass das Trapez \(ABCD\) bei \(D\) einen rechten Innenwinkel hat.
(2 BE)
Lösung zu Teilaufgabe a
Das Trapez \(ABCD\) hat bei \(D\) einen rechten Innenwinkel, wenn die Vektoren \(\textcolor{#e9b509}{\overrightarrow{DA}}\) und \(\textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{DC}}\) zueinander senkrecht sind. Es ist also nachzuweisen, dass das Skalarprodukt der Vektoren null ist.
Anwendung des Skalarprodukts
Zueinander senkrechte (orthogonale) Vektoren
Zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) sind genau dann zueinander senkrecht (orthogonal), wenn deren Skalarprodukt null ist.
\[\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{a}} \circ \textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{b}} = 0 \; \Leftrightarrow \; \textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{a}} \perp \textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{b}}\]
\[\textcolor{#e9b509}{\overrightarrow{DA}} \perp \textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{DC}} \; \Leftrightarrow \; \textcolor{#e9b509}{\overrightarrow{DA}} \circ \textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{DC}} = 0\]
\(A(17|-10|0)\), \(C(2|4|8)\), \(D(2|-10|8)\)
\[\textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{DC}} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OD} = \begin{pmatrix} 2\\4\\8 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2\\-10\\8 \end{pmatrix} = \textcolor{#0087c1}{\begin{pmatrix} 0\\14\\0 \end{pmatrix}}\]
\[\textcolor{#e9b509}{\overrightarrow{DA}} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OD} = \begin{pmatrix} 17\\-10\\0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2\\-10\\8 \end{pmatrix} = \textcolor{#e9b509}{\begin{pmatrix} 15\\0\\-8 \end{pmatrix}}\]
\[\begin{align*}\textcolor{#e9b509}{\overrightarrow{DA}} \circ \textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{DC}} &= \textcolor{#e9b509}{\begin{pmatrix} 15\\0\\-8 \end{pmatrix}} \circ \textcolor{#0087c1}{\begin{pmatrix} 0\\14\\0 \end{pmatrix}} \\[0.8em] &= 15 \cdot 0 + 0 \cdot 14 + (-8) \cdot 0 \\[0.8em] &= 0 \end{align*}\]
Somit hat das Trapez \(ABCD\) bei \(D\) einen rechten Innenwinkel.
(Vgl. Mathematik Abiturskript Bayern G9 - 3 Geometrie, 3.2.6 Nachweis von Vierecken, 3.2.2 Skalarprodukt zweier Vektoren)
