Thaleskreis

  • Gegeben sind die beiden bezüglich der \(x_{1}x_{3}\)-Ebene symmetrisch liegenden Punkte \(A(2|3|1)\) und \(B(2|-3|1)\) sowie der Punkt \(C(0|2|0)\).

    Weisen Sie nach, dass das Dreieck \(ABC\) bei \(C\) rechtwinklig ist.

    (3 BE)

  • Geben Sie die Koordinaten eines weiteren Punkts \(D\) der \(x_{2}\)-Achse an, so dass das Dreieck \(ABD\) bei \(D\) rechtwinklig ist. Begründen Sie Ihre Antwort.

    (2 BE)

  • Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass das Dreieck \(PQR\) bei \(R\) rechtwinklig ist.

    (2 BE)

  • Die Punkte \(M\), \(T\), \(S\) und \(F\) (vgl. die Aufgaben b, c und d) liegen in einer Ebene \(Z\). Die nicht maßstabsgetreue Abbildung zeigt die Gerade \(g\), den Schnitt der Ebene \(E\) mit der Ebene \(Z\) sowie den Schnitt der Kugel \(K\) mit der Ebene \(Z\).

    Begründen Sie, dass das Viereck \(MTSF\) einen Umkreis besitzt. Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Vierecks.

    Abbildung Geometrie 2 Prüfungsteil B Mathematik Abitur Bayern 2020

    (4 BE)

  • Gegeben sind die Punkte \(P(4|5|-19)\), \(Q(5|9|-18)\) und \(R(3|7|-17)\), die in der Ebene \(E\) liegen, sowie die Gerade \(g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} -12 \\ 11 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}, \; \lambda \in \mathbb R\).

    Bestimmen Sie die Länge der Strecke \([PQ]\). Zeigen Sie, dass das Dreieck \(PQR\) bei \(R\) rechtwinklig ist, und begründen Sie damit, dass die Strecke \([PQ]\) Durchmesser des Umkreises des Dreiecks \(PQR\) ist.

    (zur Kontrolle: \(\overline{PQ} = 3\sqrt{2}\))

    (4 BE)

  • Der Umkreis des Dreiecks \(ABC\) und der Punkt \(S\) legen einen Kegel fest. Zeigen Sie, dass es sich um einen geraden Kegel handelt, der Mittelpunkt des Grundkreises also zugleich der Höhenfußpunkt des Kegels ist. Berechnen Sie, um wie viel Prozent das Volumen des Kegels größer ist als das Volumen der Pyramide \(ABCS\).

    (7 BE)

  • Zwei Punkte \(U\) und \(V\) der Geraden \(h\) bilden zusammen mit \(P\) und \(Q\) das Rechteck \(PUQV\). Beschreiben Sie einen Weg zur Ermittlung der Koordinaten von \(U\) und \(V\).

    (4 BE)