Analysis II

Betrachtet wird die Funktion \(\displaystyle f : x \mapsto \frac{\sin x}{x^2}\) mit Definitionsmenge \(\mathbb R \backslash \{0\}\).

Geben Sie die Nullstellen von \(f\) an.

(3 BE)

Geben Sie das Verhalten von \(f\) für \(x \to -\infty\) an. Machen Sie plausibel, dass \(G_f\) für \(x \to +\infty\) die Gerade mit der Gleichung \(y = x\) als schräge Asymptote besitzt.

(3 BE)

Für \(x \geq 0\) beschreibt die Funktion \(h\) modelhaft die zeitliche Entwicklung des momentanen Schadstoffausstoßes einer Maschine. Dabei ist \(x\) die seit dem Start der Maschine vergangene Zeit in Minuten und \(h(x)\) die momentane Schadstoffausstoßrate in Milligramm pro Minute.

Geben Sie in diesem Sachzusammenhang die Bedeutung des Monotonieverhaltens von \(G_h\) sowie des Grenzwerts von \(h\) für \(x \to +\infty\) an.

(3 BE)