maximale Definitionsmenge / maximaler Definitionsbereich

Aufgabe 1

Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \sqrt{8 - 2x}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

a) Geben Sie die maximale Definitionsbemenge \(D_{f}\) sowie die Wertemenge \(W_{f}\) der Funktion \(f\) an.

b) Begründen Sie, dass die Funktion \(f\) umkehrbar ist. Bestimmen Sie den Funktionsterm \(f^{-1}(x)\). Geben Sie die Definitions- und die Wertemenge der Umkehrfunktion \(f^{-1}\) an.

c) Der Graph \(G_{f}\) der Funktion \(f\) und der Graph \(G_{f^{-1}}\) der Umkehrfunktion \(f^{-1}\) schließen im ersten Quadranten mit den Koordinatenachsen ein herzförmiges Flächenstück mit dem Flächeninhalt \(A\) ein.

Zeichnen Sie \(G_{f}\) sowie \(G_{f^{-1}}\) mithilfe der Funktionswerte \(f(0)\), \(f(2)\), \(f(3{,}5)\) und \(f(4)\) im ersten Quadranten eines gemeinsamen Koordinatensystems. Achten Sie dabei insbesondere auf den Verlauf von \(G_{f}\) an der Stelle \(x = 4\). Schraffieren Sie das Flächenstück mit dem Flächeninhalt \(A\). Berechnen Sie den Flächeninhalt \(A\).

 

Aufgabe 2

Geben Sie jeweils eine Gleichung der Gerade \(g\) an, für die gilt:

a) Die Gerade \(g\) ist eine Ursprungsgerade und der Punkt \(P(1|3|4)\) liegt auf \(g\).

b) Die Gerade \(g\) verläuft parallel zur \(x_{2}\)-Achse durch den Punkt \(Q(-2|2|0)\).

c) Die Gerade \(g\) verläuft parallel zur \(x_{1}x_{3}\)-Ebene durch den Punkt \(R(-2{,}5|1|1)\).

d) Die Gerade \(g\) verläuft durch die Punkte \(S(3|2|-1)\) und \(T(6|4|0)\).

 

Aufgabe 3

Gegeben sind die Geraden \(g \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{u}\) und \(h \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{B} + \mu \cdot \overrightarrow{v}\) mit \(\lambda, \mu \in \mathbb R\). Entscheiden Sie ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Begründen Sie Ihre Entscheidung kurz.

a) Gilt \(\overrightarrow{u} = k \cdot \overrightarrow{v}; \; k \in \mathbb R\), so verlaufen die Geraden \(g\) und \(h\) parallel zueinander.

b) Gilt \(\overrightarrow{u} \circ \overrightarrow{v} = 0\), so schneiden sich die Geraden \(g\) und \(h\) rechtwinklig.

 

Aufgabe 4

Untersuchen Sie, ob die Punkte \(A(3|1|0)\), \(B(2|-1|-2)\), \(C(-2|1|-2)\) und \(D(4|3|-4)\) in einer Ebene liegen. 

 

Aufgabe 5

Beschreiben Sie unter Verwendung einer geeigneten Skizze, wie sich nachweisen lässt, dass eine Gerade orthogonal zu einer Ebene ist.

Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \sqrt{8 - 2x}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

a) Geben Sie die maximale Definitionsbemenge \(D_{f}\) sowie die Wertemenge \(W_{f}\) der Funktion \(f\) an.

b) Begründen Sie, dass die Funktion \(f\) umkehrbar ist. Bestimmen Sie den Funktionsterm \(f^{-1}(x)\). Geben Sie die Definitions- und die Wertemenge der Umkehrfunktion \(f^{-1}\) an.

c) Der Graph \(G_{f}\) der Funktion \(f\) und der Graph \(G_{f^{-1}}\) der Umkehrfunktion \(f^{-1}\) schließen im ersten Quadranten mit den Koordinatenachsen ein herzförmiges Flächenstück mit dem Flächeninhalt \(A\) ein.

Zeichnen Sie \(G_{f}\) sowie \(G_{f^{-1}}\) mithilfe der Funktionswerte \(f(0)\), \(f(2)\), \(f(3{,}5)\) und \(f(4)\) im ersten Quadranten eines gemeinsamen Koordinatensystems. Achten Sie dabei insbesondere auf den Verlauf von \(G_{f}\) an der Stelle \(x = 4\). Schraffieren Sie das Flächenstück mit dem Flächeninhalt \(A\). Berechnen Sie den Flächeninhalt \(A\).

Gegeben sind die folgenden Funktionen mit jeweils maximaler Definitionsmenge:

Geben Sie jeweils die Definitionsmenge an und untersuchen Sie die Funktionen auf Nullstellen.

(5 BE)

Gegeben ist die Funktion \(\displaystyle b\,\colon x \mapsto \frac{\ln x}{x - 2}\) mit maximalem Definitionsbereich \(D\).

Geben Sie \(D\) an und bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von \(b\) im Punkt \(\big(1|b(1)\big)\).

(6 BE)

Gegeben ist die Funktion \(f\,\colon x \mapsto 2 - \sqrt{12-2x}\) mit maximaler Definitionsmenge \(D_f = \; ]-\infty;6]\). Der Graph von \(f\) wird mit \(G_f\) bezeichnet.

Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von \(G_f\) mit den Koordinatenachsen. Bestimmen Sie das Verhalten von \(f\) für \(x \to -\infty\) und geben Sie \(f(6)\) an.

(5 BE)

Bestimmen Sie den Term der Ableitungsfunktion \(f'\) von \(f\) und geben Sie die maximale Definitionsmenge von \(f'\) an.

Bestimmen Sie  \(\lim \limits_{x \, \to \, 6} f'(x)\) und beschreiben Sie, welche Eigenschaft von \(G_f\) aus diesem Ergebnis folgt.

(zur Kontrolle: \(\displaystyle f'(x) = \frac{1}{\sqrt{12 - 2x}}\))

(5 BE)

Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(\displaystyle f(x) = \frac{20x}{x^2 - 25}\) und maximalem Definitionsbereich \(D_f\). Die Abbildung zeigt einen Teil des Graphen \(G_f\) von \(f\).

Zeigen Sie, dass \(D_f = \mathbb R \, \backslash \, \{-5;5\}\) gilt und dass \(G_f\) symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist. Geben Sie die Nullstelle von \(f\) sowie die Gleichungen der drei Asymptoten von \(G_f\) an.

(5 BE)

Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \left(x^3 - 8 \right) \cdot (2 + \ln x)\) mit maximalem Definitionsbereich D.

Geben Sie D an.

(1 BE)

Ermitteln Sie den Wert des Parameters \(b\), sodass die Funktion \(g \colon x \mapsto \sqrt{x^2 - b}\) den maximalen Definitionsbereich \(\mathbb R \,\backslash\; ]-2;2[\) besitzt.

(2 BE)

Gegeben ist die Funktion \(g \colon x \mapsto \ln(2x + 3)\) mit maximaler Definitionsmenge \(D\) und Wertemenge \(W\). Der Graph von \(g\) wird mit \(G_{g}\) bezeichnet.

Geben Sie \(D\) und \(W\) an.

(2 BE)

Geben Sie jeweils den Term einer Funktion an, die die angegebene(n) Eigenschaft(en) besitzt.

Die Funktion \(g\) hat die maximale Definitionsmenge \(]-\infty;5[\). 

(2 BE)

Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \sqrt{1 - \ln{x}}\) mit maximaler Definitionsmenge \(D\).

Bestimmen Sie \(D\).

(2 BE)

Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{\ln{x}}{x^{2}}\) mit maximalem Definitionsbereich \(D\).

Geben Sie \(D\) sowie die Nullstelle von \(f\) an und bestimmen Sie \(\lim \limits_{x \, \to \, 0} f(x)\).

(3 BE)

Gegeben ist die Funktion \(g \colon x \mapsto 2 \cdot \sqrt{4 + x} - 1\) mit maximaler Definitionsmenge \(D_{g}\). Der Graph von \(g\) wird mit \(G_{g}\) bezeichnet.

Geben Sie \(D_{g}\) und die Koordinaten des Schnittpunkts von \(G_{g}\) mit der \(y\)-Achse an.

(2 BE)

Geben Sie jeweils den Term einer Funktion an, die über ihrer maximalen Definitionsmenge die angegebenen Eigenschaften besitzt.

Der Graph der Funktion \(f\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse und die Gerade mit der Gleichung \(x = 2\) ist eine senkrechte Asymptote.

(2 BE)

Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(f(x) = \dfrac{(3 + x)^{2}}{x - 1}\) und maximalem Definitionsbereich \(D\). Der Graph von \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

Geben Sie \(D\) und die Koordinaten der Schnittpunkte von \(G_{f}\) mit den Koordinatenachsen an.

(3 BE)

Geben Sie für die Funktionen \(f_{1}\) und \(f_{2}\) jeweils die maximale Definitionsmenge und die Nullstelle an.

 

(4 BE)

Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \sqrt{3x - 5}\) mit maximalem Definitionsbereich \(D\). Geben Sie \(D\) an und bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von \(f\) im Punkt \((3|f(3))\).

(6 BE)